POINTS SINC.UI.IKKS Dl'.S COUIIHKS (lAUCIIKS. 307 



nant le degré du terme en I du degré le moins élevé. Pour des 

 cas spéciaux le coefficient de ce tei-me pourra s'annuler et le 

 degré du terme en / du degré le moins élevé sera alors augmenté. 

 Il est donc possible que le nombre M^ est pour un cas spécial 

 plus grand que pour le cas général mais il est impossible que le 

 nombre 1/, est pour le cas général plus grand que pour un cas 

 spécial. 



Il est également impossible (jue le nombre ^l^ soit plus petit 

 pour le cas (jue P est un point «luelconqne (jue pour le cas que 

 le point P se trouve dans le plan y=^0, puisque la somme 

 M ^ + M, étant constante, le nombre M^ serait alors plus grand 

 pour P quelconque que pour une position spéciale du point P, 

 cequi est impossible. Par consécjuent, le nombre M^ , ne varie pas 

 en changeant la position particulière du point P en une position 

 quelconque. 



On a donc le théorème: 



Quand s'^ D est la deuxième sv/rfare polaire de la di'veloppahle D, 

 2>rise par rapport au point (laelcoïKjite I', la roiirhe nodule {douhle) 

 S,, rencontre la surface A~ D 



{n + r — 2) (il + r -f- m.) : 2 



fois an point .)/, et 



(r + m — 2) (» -\-r-\- m) : 2 



fois au point .1/.,. 



On trouve facilement précisément le même résultat |)our la 

 courbe nodale »S,, quand cette courl«^ (!st aussi une courbe double, 

 c'est-A-dire quand ç., = 2. 



llemar(|Uons que des 4 nombres (/ il n'y a jamais 2 qui soient 

 égaux, des A courbes *S' il n'a y donct jamais 2 <|ui soient à hi 

 fois des courbes doubles (§ 14). 



§ 21. /)e,s' intersections des courbes S- et S.^ avec A- /). 



Sup})osons r/i =2, on aura nécessairement r^'i, pnisipii </, est 

 un diviseur de /■. li'é(|untion de la courbe nodale S: est (§ 12) 



^, \ (n + r + m) x | 2 ^ {n -\- r + in)y \ - 



" I r + m I I m I ' ' 



L'équation de la section totale N de la. développable /' par le 

 {)lan z = aéra 



