308 POINTS SINGül.IEUS DKS COURBES GAUCHES. 



Soit A- D la deuxième surface polaire de la développable D 

 prise par rapport au point P, que je suppose provisoirement 

 situé dans le plan s = 0. La section de la surface a- D par le 

 plan s = sera alors A-N, c'est-à-dire, sera la deuxième polaire 

 de la section totale S, prise par rapport au point P. La forme 

 A-N consiste en i parties dont l'une contient .S,- en facteur, tandis 

 <]ue l'autre partie prend la forme 



22/^ + "' (A N.)^ 



Pour déterminer les intersi^ctions des coui'hes A-N et N, on peut 

 donc remplacer A-N par la courbe décomposée 



2/'+'"(AN0^=O. 

 En substituant dans cette dernière équation les expressions 



ir + mAt mi 



y = 



n + r -\- m ^ n + r + m 



donnant les coordonnées d'un point de la courl)e N, (§ l!2), on 

 ol)tient une équation en /. donnant les paramètres des points 

 d'intersection des courbes N^ et A-N. 



L'équation de la première polaire AN étant de la forme 



Ax '^ + By - + C'y - =0, 

 le terme du de^ré le moins élevé de l'équation en t sera du degré 



(r + „)) (//, + r) : 2 + 2 (tJ- — 1 ) {n + r) : 2 = {n + r) (n + r + m — 2): '2. 



Au point .1/^1, correspondant au paramètre t^O, coïncident 

 donc {n + r) {ti. -t r + m — 2) intersections de la courbe nodale 

 )S'- avec la courbe a-n ou bien avec la surface a-D. 



En remplaçant x, y et / par ~ , 7/ et et en posant ensuite 



y =^ \ on trouve facilement qu'au point .1/,, (0, 1,0, Ü) s(> trouvent 



il/, =(r — 2)(n + r):2 



intersections de la courbe nodale S- avec la surface A^ /). Ce 

 nombre M^ n'est jamais négatif puisque r ne peut devenir plus 



