POINTS sin(;i;mkks des colmîiîks (îauciif.s. 309 



petit (jue 2. < îo nombre .1/,, s'annule ([uand r = 2. Lo point .1/,, 

 est alors un point d'une génératrice double (j^, où passe une 

 branche de la (-ourbe double N- suivant laquelle se pénètrent les 

 2 nappes de la développal)le D passant par la génératrice double 

 g.^ Le point .1/,, étant pour r=2, un point double do la dévelop- 

 pable D ne se trouve pas sur la surface a- D. 



La courbe 5- rencontre encore la surface A- D aux (n + r) : 2 

 points de contact C de tangentes -à la courbe ^'; , les quelles pas- 

 sant par le point P. Chacun de ces points C compte pour 2 

 intersections, a N. entrant au carré dans l'expression 3/' ^"' (a N. )-. 



Le nombre total des intersections de la courbe ^: du degré 

 (m + r) : 2 avec la surface A- /J du degré ?i + 2 r + m — 2 est donc 



(n + r) in + r + m — 2) + (r — 2) (». + r) : 2 -t- (h. + r) = 

 = (71 + /•) {11 4- 2 /• + m — r) : 2, 



cequi est le nombre (ju'il fallait trouver. Plaeons maintenant le 

 point P, par rapport auquel est prise la deuxième polaire a^ o, 

 en dehors du plan z = 0. Quand le point P se trouve en dehors 

 du plan osculateur singulier 2 = 0, il passe par ce point u^n + r -^ m 

 (§4) plans osculateurs de la courbe C(w, r, m), desquels les points 

 d'osculation sont différents du point M ^. Les génératrices de la 

 développable D lelong des(iuelles ces n + ?• + '111 plans sont tan- 

 gentes à la développable /) rencontrent la courbe N; en n-\rr + rii 

 points C distincts des points singuliers ^f ^ et .1/,,. Le nombre des 

 intersections de la courbe ■'^'- avec la surface a- /), correspondant 

 aux points C', nombre qui était n + r est donc maintenant 

 n^r-Vrn. Le nombre total des intersections de la courbe N- avec 

 la surface a- D restant le même en changeant la position du 

 point P, il faut que la somme -1/, + 1/^,, soit diminuée de m. Je 

 dis ([ue le terme J/,, reste le même et que c'est le terme -1/, qui 

 est diminué de m par le déplacement du point /* en dehors du 

 plan z = 0. 



Pour le démontrer, coupons une courbe gauche par un plan 

 V infiniment voisin d'un point singulier (»/, r, n), le plan V 

 faisant un angle fini avec le plan osculateur et avec la tangente 

 au point singulier {n,r,m). Sous ces conditions le plan K rencontre 

 la coui'be gauche en ni points indniment voisins du point singu- 

 lier (n, r, il)). Ki\ considérant la figure corrélative on trouve que 

 par un point /-• infiniment voisin du plan osculateur et à distance 

 finie du point singulier {11, r, m) et à distance finie de la tangente 

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