310 POINTS SINGULIERS UES COURBES GAUCHKS. 



en ce point singulier, il passe m plans oscillateurs de la courbe 

 faisant des angles infiniment petits avec le plan osculateur singu- 

 lier. Supposons donc que le point P soit quelconque mais infini- 

 ment voisin du plan osculateur singulier 2 = 0, il passe par le 

 point P m plans osculateurs tangents à la développable D lelong 

 de génératrices infiniment voisines de la tangente g^. Ces hî géné- 

 ratrices rencontrent la courbe <V- en m points C infiniment voisins 

 du point singulier ^1^,. Quand le point P s'approche du plan 2 = 

 ces in points C' s'approcheront du point singulier -1/, et. quand le 

 point F sera arrivé dans le plan c ^ 0, ces m points C coïnci- 

 dent avec le point ^f^ . Par conséquent, quand le point F se 

 trouve dans le plan z = 0, le nombre des intersections de la 

 courbe «S. avec la surface a- D surpasse de m le nombre de ces 

 intersections pour le cas que le point P ne se trouve pas dans 

 le plan z = 0. 



Ce nombre d'intersections étant 



J/ , = (71 -h r) (7i + r + m — 2) : i2 



pour le cas que le point F est un point (|ueleou(|ue du plan 

 z ^ est donc 



.V, — m = (n -I- r — 2)(n + r + m) : 2 



pour le cas que le point F est un point quelconque de l'espace. 



On a donc le théorème: 



La deuxième surface polaire a^ D de la développable D. prise 'par 

 rapport au point quelconque P, rencontre la courbe nodale double 

 S. , située dans le plan osculateur, au point singulier -1/, {n, r, m) 

 xm nombre de fois 



(n + r — 2) (m + r + m) : 2, 

 et au point ^f ^ le notnbre de fois 



(r — 2) {n + r) : 2. 

 De même on démontre le théorème: 



La deuxième surface polaire A- Z) de la développable D, pjrise par 

 rapport au point quelconque P, rencontre la courbe nodale do^cble 

 >S'^ au point M^ (rn, r, n) le nombre de fois 



(r + m — 2) (il + r + m) : 2, 

 et au point M.^ le nombre de fois 



(r — 2) (r + m) : 2. 



