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l'ülNTS SINGUI.IICKS ÜKS COLllU?i;s GAIJCHKS. 







n-j-r 



= 0. 



Ell posant v 



)n obtient pour déterminer le rapport v, 



= 0, 



0, 



l'équation numérique suivante, 



1 — v" n nv"' 



1 — v" '*' ' 71 + r {n + r) v" 



1 — v"'^ '" n + r + m {11 + r + m) v"^' ~^ '" 



(ju'on réduit facilement à l'équation 



m 



r {V " "^ ' — 1 ) n -f- r (« + r) {v ' — 1 ) 



(r + m) {v " "^ ' '" "' — 1 ) n + r+iii. {ii + r+ m) [v ' ^ '" — 1 ) 



ou bien, 



[n+r) {r+m) (v"+'+"'— 1) {v' —1) —r{n+r+ni) (v"+'— !)(/+"'— 1)=0, 

 ou bien, 



mnv'^'^ '' "*" '" — (w + r) ( /• + m) v ""'''+ '" +- r (vï + r + 7n)v"^ ' + 



+ r (7t + r + 9n)v'^"' — (?i, + r) (r-rm) v' + jh'H, = , . {B) 



ou bien encore, 



nin {v'' — 1) (7;" + '' + "' — 1) — r (71 + r + m)?;'' (v'" — 1) {v" — 1) = 0. 



L'équation B étant du degré n + 2r + m on obtiendi'a pour v 

 n-\-2r-r m valeurs. Pour v^l on aurait t=^t^ et les 2 points 

 F [t) et P, (i,) de l'arête de rebroussement C(:n,r,m), donc égale- 

 ment les tangentes en ces 2 points, coïncident. Pour une racine 

 V = 1 de l'équation B on n'obtient donc pas un point de la 

 courbe nodale; il faut donc écarter les racines v^l. 



En différentiant par rapport à v l'équation B et divisant le 

 résultat par v' ~^ on obtient: 



