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m '/i {n + 2r-j-m)v " '^ ' ^ "' — (71 + r + hi) {n + /•) (r + m) i) " "*" '" ^- 

 + /•(« + /•) (n + 7- + »3?) t) " -h r (r + m) {n + v m) v '" — 



r(n + r) (r + m) = (C) 



En differential) t l'équation Cet divisant le résultat par (// + /• r»j/)7;"'" 

 on obtient, en supposant 7i > »i : 



'//■ n {n + 2r + 7») t;" "*"' — (7i + h») (n + r) (r + vi) v" + 



+ 717- (7ï + '■) v" "'" + /■»((/• + >n) ^ (/-*) 



Kii (lillerentiant ré(juatioii D et divisant a])rès par7i(7i + r)'y" '"" 

 on obtient: 



m {n + 2r + m) v' "^ '" — (71 + m) {/• + ui)v"' + v (71 — m) = . . (^) 



En diflérentiant Téquation /^ et divisant après par »/( /• + »») t;'"" 

 on obtient: 



(n + 2r + m) v' — (n + w) = {F) 



On vérifie facilement que v = l est une racine des équations 

 B, C, D et E et que v^l ne l'est pas de l'équation F. Par 

 conséquent 7; = 1 est une racine quadruple de l'équation B. 



Dans la démonstration précédaiite n est supposé plus grand 

 que tu. Pour le cas que n=^m la démonstration se simplifie un 

 peu, mais on obtient le même résultat, (^uand w^it, on obtient 

 évidemment encore le même résultat, l'équation B étant symétrique 

 par rapport à n et m. 



L'équation B a donc n -\- 2r -\- t/i — 4 ^ () — 4 (§4) racines diffé- 

 rentes de l'unité. Chacune de ces c — 4 valeurs du rapport v 

 donne une valeur du paramètre t, correspondant à un point /", {t^) 

 de la courbe C(n,r,m), la tangente à cette courbe au point /',(<i) 

 rencontrant la tangente au point /"(<). Ou bien la tangente à la 

 courbe f' (■it,r, ///) au point P {t) rencontre r» — 4 nappes de la 

 développable D; résultat connu. 



§ 23. Des racines v, correspondant aux sections planes N, , N^ , 



6'. et ,s;. 



Considérons la forme suivante de ré(]uation B (^ 22) 



mn (v' — 1)(7;" *"' "^"' — 1) — r (n-\- r -\- m)v' (v'" — l) (v" — 1) = Ü. 



