314 POINTS SINGULIERS DKS COUR13FS GAUCHES. 



Le plus grand commun diviseur des nombres n et /• étant q^, 

 {v' — 1) et (^'" — 1) sont divisibles par {v''' — 1). Les g, racines 

 de l'équation v''' = 1 sont donc des racines de l'équation B. 



Le plus grand commun diviseur des nombres n et n + r + m 

 étant (/[,, les binômes (v" — ^ 1) et (i; " + '' + '" — 1) sont divisibles par 

 {v''" — 1). Les g, racines de l'équation v'^" = l sont donc des racines 

 de l'équation B. De même pour les g., et q., racines des équations 

 v'"= \ et v''''= 1. 



Parmi les c — 4 racines de l'équation B différentes de l'unité 

 se trouvent donc les (Çj — 1), (g, — 0, ('l-.-. — D et (g,, — l) racines 

 différentes de l'unité des 4 équations 



v''' ^\, v''' ^\, v'" ^=\, v''" =^\. 



Les nombres g,, q.,, g., et q,^ ne possédant des diviseurs communs 

 à 2 de ces 4 nombres (§ 14) les (g, — 1), {q,, — 1), [q., — l)et(g^ — 1) 

 racines sont toutes inégales. 



Soit V, une racine de l'équation B. En remplaçant dans les 

 équations A (§ 22) i, par sa valeur ('i /- les 3 équations A devien- 

 nent dépendantes et 2 d'entre elles suffisent pour déterminer les 

 valeurs des paramètres l ei l^ correspondant à la racine v^. Par 

 cette substitution les équations A (§ 22) deviennent après une 

 petite reduction, 



ni — nl^v^"'^^ ^= t(v^" — 1) , 



{n + r)l — (n + r)l,v,"^''~' = i{v^"^' — l), {A') 



{n + r + m)l — {ii. + r + m) Z, v ^" + '' + '" '^ = t{Vi"^''^"' — 1) . 



Des 2 pi'emières on tire 



l = — ■} r In — rv, ~ . 



n{n + r) ^ ' v^' _1\ 



Soit v^ une des (ç^ — 1) racines, différentes de l'unité, de l'équa- 

 tion v''' = 1 ; g,, étant par définition le plus grand commun divi- 

 seur des nombres n et r + m, n'a pas un facteur de commun avec 

 le nombi'e r, puisque, n, r et m ne possèdent pas de facteur 

 commun (§2) Par conséquent, v^ n'annulera pas le dénominateur 

 Vj' — 1 et annulera le numérateur tJ," — 1 de la partie fraction- 



