316 POINTS SINGULIERS DES COUKBKS GAUCIlIib. 



De même on démontre, à l'aide de la valeur de / tirée des 2 

 dernières équations A', le résultat suivant: 



Les ^3 — 1 racines i;,, différentes de l'unité, qui satisfont à la 

 relation v''' = '\., correspondent aux q.^ — 1 nappes de la dévelop- 

 pable D, que rencontre une génératrice quelconque sur la section 

 plane S, . 



En diminuant le nombre n-h'2r + m — 4 des racines v^, diffé- 

 rentes de l'unité, de l'équation B (,^22), des nombres (5, — 1), 

 {q., — 1), {q.^ — 1) et (g 4 — 1) de ces racines correspondantes aux 

 sections planes multiples S'-, S'^, S, et S,,, il reste encore 



71 + 2r + m — 7, —q, —q-s —q, = 2N (§ 13), 



racines correspondantes aux brandies de la courbe nodale 

 gauche §'. 



§ 24. Des racmes v^ œrrespondmti aux branches de la courbe '§'. 



Soit P [t) le point de l'arête de rebroussement C (n, r, m), corres- 

 pondant au paramètre t. SoitVj une des 2 N racines de l'équation 

 B {% 23) correspondant à une branche de la courbe nodale gauche 

 'éf- La tangente au point P {t) rencontrera, en un point Q de la 

 courbe nodale ï', la tangente à la courbe C{n,r,m) au point 

 P, {t^) où t^ ^v^ t. Si le point P (t) se déplace sur la courbe 

 C{n,r,m) pour arriver au point P^(t^), la tangente passera de 

 nouveau par le point Q de la courbe nodale 'i'. Parmi les tan- 

 gentes à la courbe G {n, r, m), rencontrant la tangente au point 

 fj {t^) se trouve donc la tangente au point P(t). Il existe donc 

 une valeur v., de la racine v qui donne t^v^t^. Des rela- 

 tions t^=v.,t^ et t^^v^l, il résulte V, v,^ = 1. Les 2N racines 

 de l'équation B correspondant aux branches de la courbe nodale 

 ^' se combinent donc deux à deux en paires, le produit de 2 

 racines formant une paire étant l'unité. Il faut donc que l'équation 

 B (§ 22) est une équation réciproque, cequi est en effet le cas 



Les 2 racines v^ et v.y formant une paire, correspondent à une 

 même branche de la courbe nodale i'. Par conséquent, la tan- 

 gente à la courbe C{n,r,m) au point P {t) rencontre cette branche 

 2 fois en les points où elle rencontre les tangentes à la courbe 

 C{n,T,'m) aux points correspondant aux paramètres ■w, t et v^ t. 



Les équations A (§ 22) étant du premier degré en l, il correspond 



