318 POINTS SINGUMERS DES COURBKS GAUCHES. 



Les coordonnées d'un point (J de la courbe nodale ^' prennent 

 donc la forme x = At", y = Bt"~^', 2; ^ 6* i""^' ^"', par conséquent, 

 on a le théorème (§ 2). 



La courbe nodule 'i' se décompose en N conrhes distinctes de iwlrne 

 espèce que la courbe G (n, r, m). 



Ce théorème tombe en défaut si pour une racine Vj de l'équa- 

 tion B les coefficients A, B et G sont infinis ou nulles. On vérifie 

 facilement que ceci ne sera le cas que poui' les racines ii^ (jui 

 satisfont à une des 4 équations 



v''' = 1, v''' = 1, v'" = 1 et v''' = 1, 



et ces racines de l'équation B ne correspondent pas à des branches 

 de la courbe è' mais correspondent aux sections planes S,, .S^, 



*§,. et Sy . 



La courbe §', qui se décompose en N courbes ^, de même 

 espèce que la courbe G{n,r,vi), est donc une rourbe gauche 

 {§ 17), la courbe C{n,r,m) étant une courbe gauche (§ 6). 



De chacune des N courbes ê, il passe n branches par le point 

 M,. Ces n branches y ont de commun n + r points consécutifs 

 avec leur tangente commune, l'axe des x, <|ui est également la 

 tangente au point ilf, à la courbe G{n,r,m). Ces ïi branches ont 

 chacune de commun, au point Mj, n + r + m points consécutifs 

 avec le plan osculateur commun z = 0, qui est aussi le plan 

 osculateur de la courbe G {n, r, m). On retrouve donc le théorème 

 du § 19: 



Par le point M^ il passe n N branches de la courbe nodale 'è'. Ces 

 n N branches sont tangentes au pjoint Mj à la courbe G {n, r, m) et 

 ont de commun avec la tangente commune (n + r) N points. Le plan 

 osculateur de la courbe G {n, r, m) est également le plan osculateur 

 des nN branches de la courbe ^' et ces nN branches ont de commun 

 avec ce plan osctdateur {'ii + r + m) N points. 



§ 25. Des intersections de la courbe nodale è' avec la surface i\- D. 



Soit ê, une des N courbes è, qui composent la courbe nodale 

 'è'. Déterminons le nombre des intersections de la courbe nodale 

 ^1 avec la deuxième surface polaire ^'- D de la développable D, 

 prise par rapport au point quelconque P, lesquelles se réunissent 

 au point singulier M ^. 



