POINTS SINCL'I.IKKS I)KS COUHBICS «AUCIIKS. 319 



Comme au v< 11 on trouve que les termes de l'équation A- D = 0, 

 (lu poids le moins élevé sont les ternies obtenus en différentiant 

 2 fois par rapport à z. Ces termes sont du poids (n + r — 2) x 

 x{n + r + m), ou bien en remplaçant dans l'équation de la 

 deuxième surface polaire ^- D, les vai'iables x, y et z respective- 

 ment par les expressions en l donnant les coordonnées d'un point 

 de la courbe ï, 



x = At'\ y = Bt-"\ z=Ct"-"'-"\ (§24) 



on obtient une équation en t dont les termes du degré le moins 

 élevé sont du degré {n ■+ r — 2) (n + r + m). Il est encore possible 

 que s'aimule, pour les valeurs spéciales ^, i? et C correspondant 

 à un point de la courbe nodale è,, le coefficient du terme 

 en <- + '--^)"' + '• + '"). 



De l'équation en /, donnant les paramètres des points d'inter- 

 section de la courbe ^, avec la surface a- /), (?t + ?• — 2){n + r + m) 

 racines, au moins, sont nulles. Le point singulier .l/j correspondant 

 au paramètre t = 0. compte donc pour (n + ;• — 2) (?/, -+- r + m) + ix, 

 intersections de la courbe nodale |, avec la surface a- i>; R^ 

 représente un entier positif ou nulle. 



De même la courbe nodale t, rencontre au point M., la surface 

 A- £) le nombre de fois suivant 



{n + r — 2) {h + r + m) + R, , 



où lu est un entier positif ou nulle. 



La courbe ïj étant du degré n + r + m rencontre la surface 

 A- X», hKiuelle est du degré n + 2r + m — 2, le nombre de fois 

 suivant 



(/t + r + m) (v. + 2r H- m — 2). 



Ces intersections sont, d'après CiîEi\io.\A '): 



'1° Les points singuliers M\ et M.,- 



2° Les points triples t de la développable f), lesquels sont 

 aussi des points triples de la nodale totale, et où prissent 

 une, deux ou trois branches de la courbe c,. Soit r le nomVjre 

 des intersections aux points r. 



3° Les points singuliers de l'arête de rebroussement C(n,r,m), 



') Cremoma - CuRTZE, Oberflächen, Cap. IV. 



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