320 POINTS SINGULIERS DES COÜÜBKS GAUCHES. 



A, /•>', //, " et œ' , autres que les points ilf , et M.^. Nous avons 

 vu aux i5§ 6, 8, 10 et 11 que la courbe C{n,r,m) ne possède pas 

 d'auti'es singularités que les 2 points M, et il/,, on a donc 

 ici A = /:? = 7/ = 1:1 = w' = 0. 



4° Les points où la courbe ï, rencontre une génératrice mul- 

 tiple io' on '*. Nous avons vu aux §§ 6 et 10 que la développable 

 D ne possède pas d'autres génératrices multiples que les 2 

 génératrices g^ et g.,. Nous avons vu au § 17 que la courbe 

 §' rencontre ces génératrices seulement aux points i¥, et 31.,. 

 De même pour la courbe è, qui fait partie de la courbe ^' 



5° Les points où la courbe '^^ rencontre les u=7i+r + m 

 {'^ 4) génératrices de la développable B, qui se trouvent dans 

 des plans osculateurs de la courbe C(n,r,m), passant par le 

 point P. Chaque génératrice de la développable D rencontre 

 2 fois la courbe nodale ë, (§ 24). Le nombre de ces inter- 

 sections C de la courbe i, avec la surface a 2 o est donc 2x 

 {u + r + m). Cr1':mona donne le résultat, que chacune de ces 

 intersections C doit compter pour un seul point commun ') 

 de la nodale et de la deuxième polaire -a^ D. 



On obtient donc la relation : 



{n -t- r -I- m) (n + 2r+m — 2) ^ (/i + r — 2) {n + r + m) -i- Ix , + {vi + /• — 2) x 

 X (n + T+m) -1-E , + r -i- 2 (?H-'r + m) ; 



d'où Ü, + B, + r = 0. 



Ü,, Ü, et r ne pouvant pas être des nombres négatifs on a le 

 résultat, 



R^ =0, E, =0, r = 0, 



on en tire facilement: 



1° Le point singulier M, compte pour {n + r — 2) x {n + r + tu) 

 points communs de la deuxième surface polaire a- D avec 

 la courbe Sj, par conséquent, le point M^ compte pour 



N {n + r — 2) {n + r + m) 



intersectioiis de la courbe nodale 'i' avec la surface a 2 D. 

 2° Le point singulier M\, compte pour (m 4- r — 2) (7i -1- r -t- m) 

 points communs de la courbe nodale ê, avec la surface A- D, 

 par conséquent, le point singulier M.^ compte pour 



') Cremona - Cdetze, Oberflächen. § 99. 



