322 l'ÜINTö SINGULIERS DKS COURBES GAUCHES. 



aura donc t=^Vr, t.-^, <, ^i;,; ^2) ""s et v^. étant encore des racines 

 de l'éqaation B correspondant à des branches de la nodale gauche 'i'. 

 Des relations v^ t=^ t^, %\t^=t on tire i', v^ ^1. Des rela- 

 tions 1'. /j = t.,, %\ /= t^, ^2 t= t., on déduit v^ v.. =ti2- ^^ 'tout 

 on trouve facilement les relations suivantes: 



v, v^ = 1 , v^^v-^ =-\ , v.^Vç^^X , 



V^V^'^V^, V.-,V^=^V._., 'V-iVr,=V^, (C) 



''^l ''^li ''^5 ^ 1' '^•'2 '^i "^C. ^ 1- 



Ces relations permettent d'exprimer les six racines -y,, v^ ■ ■ v^ 

 en fonction de 2 d'entre elles. 



Les six valeurs v,, v., ■ i',; sont distinctes. En effet, supposons 

 ^v^■^v., on aura par l'équation v^v..^v.J^ le résultat v.^^1. 

 Parmi les 2 N racines correspondant aux branches nodales gauches 

 il ne se trouve plus l'unité (§ 22), on ne peut donc admettre v, = -Wj- 

 Supposons v^ =v-^ on aurait par l'équation t>, v.^ =^v^, le résultat 

 v'^^v^ et l'équation B admettrait les racines v^ et v\. On aurait 

 donc 



(u4/0(r+m)(<— 1)(^*'+'^''''— l) = r(7i-r4-m)(vf''*'''''— l)(i;;''''''— 1), 

 {)i + r) (r + m) {'i\ — 1) {v"^'^'" — 1) = r (7*, + r -h m) {v^""" — 1) {^\'^'^ 1 ). 



En divisant membre par membre, 



« + 1) K+'-+"' + 1) = «■*-'" + -1) «+' + 1) 



v[{vl — \) (?/' — 1) = 0, 



Parmi les racines de l'équation B ne se trouve par t" = 0. Les 

 valeurs de v qui ammlent (v'" — 1) et (y" — 1) et qui satisfont à 

 l'équation B, correspondent aux sections planes S,- , 8,j , S,- et Ä^ et 

 ne correspondent pas aux courbes nodales gauches i', . On ne 

 peut donc pas admettre i\ =v-^. 



Supposons -u, =v^ ; on a v, v,^ = 1, donc i\ = 1 d'où i\ ^ ± L 

 Parmi les 2 N racines de l'équation B, correspondant aux courbes 

 5, il ne se trouve pas la racine v^^i. Le nombre 2N des racines 

 correspondant aux courbes è, étant pair (>j Ai) et se présentant 

 en paires satisfaisant à la relation v,- v^ ^ 1 la présence d'une 

 racine v,^ — 1 entraînerait une seconde racine 'fi. = — L La 



