324 POINTS SINGULIEIIS DES COURBKS GAUCHES. 



v^u.^=i'-, on tii-e que la tangente «, rencontre la tangente ^3 ; 

 t^ rencontrant aussi la tangente t, il faut que la tangente t^ passe 

 par le point de rencontre des tangentes t et /-., ou bien se trouve 

 dans le plan déterminé par les droites t et i^. Dans le plan 

 {t,t.,) se trouve déjà la tangente t,. Dans ce plan {t,t^,t.^) se 

 trouveraient alors 4 tangentes et ce plai: serait donc un plan 

 quadritangent de la courbe C{n,r,m). La développable D' , qui 

 est la figure corrélative de la courbe C{n,T,m) posséderait alors 

 une courbe quadruple. L'arête de rebrousseinent C' de cette 

 développable D' étant une courbe de même espèce (§ 4) que la 

 courbe C{n,r,m), la développable D posséderait aussi une courbe 

 quadruple faisant partie de la courbe gauche i' . Par supposition, 

 la courbe i' ne se décompose pas en courbes multiples dont le 

 degré de multiplicité est supérieur à 3. On ne peut donc pas 

 admettre la supposition que la droite t,^ se trouverait dans le plan 

 {t,t.^,t.^). Par conséquent, la tangente t,^ passe par le point de ren- 

 contre des tangentes t et t.,. 



De même on démontre que les tangentes /, t,^ et i- se trouvent 

 dans un plan et que les tangentes t, tr, et t^ passent par un 

 point. En résumant on obtient le théorème: 



Quand la développable D possède une courbe nodale triple i-^, cette 

 courbe correspond à 6 racines distinctes v^. Une génératrice quelconque 

 t rencontre 3 fois la courbe ^.. . Par les 3 points de rencontre passent 

 les triples de génératrices {t,ti,t.^), {t,t.^,t^) et {1.1^,1,.). Par la 

 génératrice t il passe trois plans tritangents de la courbe (! (n, r, m), 

 savoir les plans {t, t.,, t.^), {t, <,,, ^5) et {t, t,.^, <,). 



La courbe $.., possédant une infinité de trisécantes t formant la 

 développable D, la courbe G{n,r,m), laquelle est une courbe de 

 môme espèce (§ 24) que la courbe §3 possède également une 

 infinité de trisécantes, toutes tangentes à une courlie de même 

 espèce que la courbe C {n, r, m). 



Et réciproquement, quand la surface réglée formée des tri.sécantes 

 de la courbe C{n,r,m) consiste en entier ou en partie d'une 

 développable T, la développable D possède une nodale triple. 

 En effet, chaque plan tangent de la développable T est un plan 

 tritangent de la courbe C{n,r,m), par conséquent, la développable 

 fJ' qui est la figure corrélative de la courbe C {n, r, m) possède 

 une courbe triple. L'arête de rebroussement G' de la développable 

 D' étant une courbe de même espèce que la courbe C{n,r,m), la 



