POINTS SINGUMKHS DKS CÜUIU5F.S GAUCHES. 325 



développaljle D possède également une courl)e triple i... <2uan(l la 

 développable T est un cône la eourbe 'é,.^ est une courbe plane ; 

 c'est le cas considéré au § 13. où nous avons vu qu'il correspond 

 H chaque section plane multiple S', , <S', , S. ou -S'^ un cône 

 projetant multiple, (.^'^land la développable T n'est pas un cône, 

 la courbe .i'3 est gauche. 



On a donc le théorème suivant: 



La condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une courbe 

 gauche triple sur la decelopjmble D, est qu'une infinité de trisécantes 

 de la courbe G {n, r, m) soit tangente à une courbe de même espèce 

 que la courbe C(n,r,m). 



Ce théorème suffira en beaucoup de cas à écarter la possibilité 

 de l'existence de courbes gauches triples. Par exemple quand la 

 courbe C{n,r,m) se trouve sur une surface du second degré, ses 

 trisécantes sont les génôjatrices de cette surface et, par conséquent, 

 ne sont pas tangentes à une courbe de même espèce que la courbe 

 C{n,r,m). On a donc le corollaire: 



Quand la courbe C {n, r, m) se trouve sur une surface du second 

 degré sa développable D ne présente pms de coiirhes gauches triples. 



Nous avons vu que le j)laii (t,t.,,t^) est tangent à la courbe 

 C{n,r,m) aux points de paramètre t, t.^ et t.,. Quand la tangente 

 t décrit la développable Ü, le plan {t,t^.t^) enveloppe une déve- 

 loppable T (de même espèce que D). Le plan tritangent consécutif 

 passe par les tangentes consécutives aux tangentes t, t^, t.^, donc 

 passe par les points de paramètre t, t.,, t-j. La génératrice du 

 développable T située dans le plan {t, /.., , t..) est donc une droite 

 passant par les points P. P.,, P. de paramètre t, t., et t.., ce(jui 

 donne le théorème : 



Les six points de contact P,, /\ • ■ ■ P,-,, des tangentes à la 

 courbe (J{n,r,m), qui rencontrent la tangente au point P, dans S 

 points d'une courbe gauche triple, se trouvent deux à, deux sur 3 droites 

 passant par le point P. 



^ 27. Des racines réelles de l'éciuation B. 



Envisageons de nouveau l'équation B du § 22 



mnv"^ ''' '^ '" — (ri + r) (r -i m) v"^'"^'" + r {n + r + m) v ""•"' + 

 ■+■ r (n + r + m) v ' '^"' — (n + r) (r + m) v ' + m ?i = 0. . . (B) 



On peut toujours supposer n> m, car les courbes pour lesquelles 

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