326 POINTS SINGUMERS DKS COUUBKS GAUCHES 



ïi<m se réduisent à des courbes pour lesquelles 71 > m en choisis- 

 sant pour origine des coordonnées le point singulier M., (m,'r,n) 

 au lieu du point /V, {n,r,m) (§ 3). 



Le nombre des variations de signe des termes du premier 

 membre de l'équation B étant 4, le nombre des racines réelles 

 positives est au plus 4. Nous avons déjà vu au § 22 que + 1 est 

 une racine quadruple de l'équation B, par conséquent, aucune 

 des racines, correspondant aux courbes nodales S et §; n'est 

 positive. Si donc une racine il^ de l'équation B, correspondant à 

 une courbe ê, ou &' est un nombre réel cette racine est négative. 

 liCs paramètres t et t^ des points P et P, de la courbe C{n,r,m) 

 dont les tangentes se rencontrent dans un point de la courbe ^j 

 ou S sont donc de signe contraire, ou bien les points P et P, se 

 trouvent sur la courbe C (n, r, m) de part et d'autre du point UZ, . 

 De même les points P et P, se trouvent de part et «l'autre du 

 second point singulier 31^. 



Le nombre des racines réelles négatives de réijuation B ne 



surpasse pas le nombre des variations de la transformée en — v. 



Soit B{ — v) la transformée en — v. Nous aurons à considérer 

 plusieurs cas. 



1°. n, r et m sont impairs; la transformée eu — v, B{ — ;'), ne 

 présente que des permanences. Le nombre des racines néga- 

 tives de l'équation B est nulle (§ 34, 40). 



2°. n et m impairs, r est pair; B{ — 0) présente 2 variations 

 donc ré((uation B peut posséder 2 racines négatives (§ 45). 



3°. r et m sont impairs, n est pair; B{ — v) présente une varia- 

 tion, donc une racine de l'équation B est réelle et négative, 

 c'est la racine — 1, correspondant à la courbe nodale plane 

 ^% (§§ 35, 41). 



4°. r et n sont impairs, m est pair; ß( — v) présente 3 varia- 

 tions, donc o ou 1 racine de l'équation B sont réelles et 

 négatives; — 1 est une racine de l'équation B cette racine 

 correspond à la courbe nodale plane S,.. 



5°. r est impair, n et m sont pairs; B ( — 0) présente 2 variations 

 de signe, 2 ou racines de l'équation B sont réelles et né- 

 gatives (§ 38). 



6°. n est impair, r et m sont pairs; B ( — v) présente 5 variations 

 5, 3 ou 1 racine de l'équation B sont réelles et négatives. 



