POINTS SIN(iL'l,li;i!S DKS CcnUIîKS (;.\ IKll KS. 3'27 



Une de ces racines est — 1, cette racine correspond à la 

 courbe nodale plane S\. 

 7°. m est impair, n et r sont pairs ; B ( — u) présente 3 variations 

 donc 3 ou 1 racines de l'équation ß sont réelles et négatives; 

 — 1 est une de ces racines, cette racine correspond à la 

 courbe nodale plane S- (§ 39). 

 Des racines c, correspondant à des courKes nodales gauches 

 il y a donc au plus 4 qui sont réelles 



Les racines t', de l'équation D correspondant aux génératrices 

 que la tangente au point F {l) rencontre sur la courbe nodale S^ 

 sont les racines de 1 é(|uation v''' = 1 (§ 23). (^uand 7, est pair 

 une de ces racines est — ^ et les autres racines sont imaginaires ; 

 la tangente au point F (t) rencontre donc sur la courbe S, la 

 tangente au point P ( — t). 



Des 4 nombres (/,, q^, (j-^, et '/,, il n'y a jauiais plus qu' un 

 seul (|ui soit pair (§ J4). Des racines dittérentes de + 1 des équa- 

 tions V '' =^ 1, V ''- =^ l, V ''' = 1, V ''" = l il n'y a donc qu'une seule 

 qui est — 1, toutes les autres racines sont imaginaires. 



(^uand t est réel, le point PiJ) et la langente t au point P (l) 

 à la courbe C{n,r,m), sont réels. 



QuMud la racine v, de l'équation B est imaginaire <, == c, t 

 sera imaginaire. Le point Pj (<,) et la tangente au point P^ (<,) 

 seront également imaginaires. Par conséquent, des nappes que la 

 génératrice i rencontre sur les 4 courbes nodales planes S, il y a 

 au plus une qui soit réelle, toutes les autres nappes sont imagi- 

 naires. Pour fixer les idées, soit ;'] une racine imaginaire de 

 l'équation t' '' ^ 1 ; la génératrice l rencontre donc sur la courbe 

 *S'- la génératrice imaginaire t^. La courbe S. est une courbe réelle 

 et le point de rencontre de la génératrice t avec le plan réel 

 z^O est un point réel de la courbe 'S"- , où passe la droite ima- 

 ginaire <,. La génératrice t, est donc une droite imaginaire possé- 

 dant un point réel, c'est donc une droite imaginaire ponctuée, ou 

 pour simplifier, <, est une droite ponctuée. Je réserverai comme 

 le fait R. Sturm ') le nom de droite imaginaire pour ces droites 

 imaginaires qui sont dépourvues d'un point réel. On a donc le 

 théorème : 



Des génératrices que la tangente réelle t rencontre sur les 4 courbes 



') R. Sturm, Flächen dritter Ordnung. Kap 6. 



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