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Quand M^O on a i = ü et la tangente t est la génératrice 

 réelle singulière Qi et la droite t n'est donc pas une droite ponc- 

 tuée. La droite t est donc seulement une droite ponctuée (|uand 

 la quantité réelle « satisfait à la condition 



[h + /■) (r + m) sin r a sin (n + r + m) a 



— /• {'It + r + m) sin {n + r) a sin (r + m) (c =^ 0. 



En remplaçant sinra par (c'"' — e~""):2i etc. et multipliant 

 api'ês par — ^ ^("t -'+'")■' i q^^^^q dernière condition se réduit à 



(vi 4- r) (r + m) (e"'" ' — 1) (e"-'" + '+"""' _ 1) 



— y {,1. + r H- m) {«''" + ""'— 1) (e-"+"""'_ 1) = 0. 



Par la substitution e' '^v, cette condition devient 



{n + r) {r + m) (/■'—!) (r""'+"'—l) — r(7t + rH-m) («"+'— l)(r'+"'—l)=0, 



c'est une des formes ({ue prend l'équation ß (§ 22). 



Soit r, =e' une l'acine de l'équation B, alors ce =^ fp sera 

 une racine de l'équation eu « précédente, et la tangente à la 

 courbe C{n,r,m) sera donc une droite ponctuée, quand le para- 

 mètre du point de contact est t^=3Ie''\ M étant quelconque. 



L'angle « étant une quantité réelle on ne peut pas avoir a = rp 

 que sous la condition que (f est une quantité réelle. Quand f est 

 réelle le module de f, est l'unité. 



On a donc le théorème: 



A chaque racine imaginaire c, ^e"*' de l'équalion B, dont le 

 module est l'unité il correspond une infinité de points imaginaires de 

 la courbe C {n, r, m) dont les paramètres t ont le même argument rp 

 et qui sont les points de contact de tangentes ponctuées. 



Je démontrerai ce résultat encore une fois d'une autre manière. 



Soit e^''" une racine c, de l'équation B, c'est à dire, la tangente 

 t au point de paramètre t rencontrera, en un point Q, de la courbe 

 nodale, la tangente /j au j)oint de paramètre 1^ = l' ^ t. Soit t = Me~'''^ 

 on aura t^ =yl/e''''. A la condition que (p est un nombre réel, t 

 et t^ sont 2 imaginaires conjuguées, et les 2 tangentes < et ^, .sont 

 2 droites imaginaires conjuguées, (^uand 2 droites imaginaires cou- 



