332 POINTS SINGUIJKRS DES COURBES GAUCHES. 



contact de la génératrice conjuguée i, sera t^=^ Mte~"'. La géné- 

 ratrice l rencontre les génératrices t^ et t., on a donc /, = v t, 

 t^=^v.;tt où 'jj et r., sont des racines de l'équation B. Des équa- 

 tions t^-=h\t et t^ = Mte"' 'xV résulte v^ = Me"', de même on 

 a v^ z^ M e'"^ donc t- , : y, ^ e" '" • 



Les génératrices ponctuées /, et /^ se rencontrent donc /| =«'3 ^2 

 où "3 est une racine de l'équation B. On a donc Me '" =j;^ Me", 



d'où ^"3 = e^""" . 



Il y a 2 cas à considérer: 



1'^ Supposons M^l, par conséquent, v., =e~"', donc r.j ^ r; . Nous 

 avons vu an § 26 que la racine r., de l'équation B est une racine 

 d'une des 2 équations i'" ^ 1 ou v'" = 1, quand sa deuxième puissance 

 est aussi une racine de l'équation B. La racine v^ correspond alors 

 à une des 4 sections planes S. La génératrice t rencontre alors 

 les 2 génératrices t., et i, en son point de rencontre avec la 

 courbe S, et peut-être encore quelques autres génératrices. On a 

 donc le théorème. 



Quand une génératrice réelle t rencontre une génératrice ponctuée, 

 le module du rapport v correspondant étant l'unité, le point de ren- 

 contre est un point d'unedes section planes S laquelle est alors une 

 courbe multiple dont le degré de miUtiplicité est au moins trois. 



2° Supposons ilf différent de L Le point de rencontre Q, des généra- 

 trices t et ij n'appartient pas à une des 4 sections planes S, puisque les 

 racines v correspojidant à une section plane sont les racines d'une 

 des 4 équations (''' = 1, desquelles les modules sont toujours égaux 

 à l'unité, tandis que le module M de t', =Me" est par supposi- 

 tion différent de l'unité. Le point Q, appartient donc à une des 

 courbes nodales gauches g, . L'équation B étant une équation 

 réciproque l'existence d'une racine c, nécessite l'existence d'une 

 racine 1 : ('i et la génératrice t doit rencontrer Ü généi'atrices t^, 

 i, • ■ ^r.i les paramètres des points de contact étant 



tf ^v^ t = Mte"' , t2 = V2 t = Mte^"^ , t^=v ^t=^ te^'"' , 

 h="k t = te''"' ■.M,t-^ = v.^ t = te"' : M,ta = v,. t=te'^". 



On vérifie facilement qu'il existe entre les racines v les relations 

 C du § 20 



