POINTS SINOIM.IKRS DKS COURBES GAUCHES. 333 



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Supposons (|U0 <;. soit une droite reelle, il faut que r., soit réelle 

 donc t'., ^= — 1 (§ 27), i'., î'i; = 1, donc t'^ = — ^ et les 2 généra- 

 trices i., et <,; coincident. Quand i'3 = — 1 le point de renconti'e 

 Q., des génératrices t et /-., est un point d'une des 4 sections 

 planes S (§ 27). Le point de rencontre Çi2 des génératrices <, et 

 t., est également un point de cette courbe S, puisque i, = ^'^ ^i 5 

 de môme le point de l'encontre Q,-, des génératrices t,, et /.-, est 

 un point réel de cette courbe S. Il est impossible qu'un des 2 

 points (2i2 et Qir, se trouve sur la génératrice t, puisqu'alors la 

 droite t se trouverait dans le plan de la courbe S, cequi est impos- 

 sible, les seules génératrices se trouvant dans un des plans a; = 0, 

 y = 0, z = ou w ^ étant les génératrices ^, et ^2- ^^^ relations 

 i', 11.^ = v.^, Vr_, î', = Vf, on tire que les droites <,, h' *i ®t ^s rencon- 

 ti-ent la droite ^5 =/,•,• Les 4 droites t^,, t.,, <,, et <- rencontrent 

 aussi la droite t, donc elles se trouvent dans le plan {t, t.^) ou 

 elles passant par le point Q^. Il est impossible que les droites 

 /,, <2' ^ii 6t f- passent par le point ^i^, puisque ce point se trouve 

 sur une courbe S et les modules des rapports t',, (%> ^^.'i ^t v- 

 devraient alors être l'unité. 11 est également impossible que les 

 4 droites se trouvent dans le plan (t, t.^) puisque dans ce plan se 

 trouvaient alors les 3 points réels Q.,, Q12 et Qir,, par conséquent, 

 le plan (t, t-^) coïnciderait avec le plan de la courbe 6", ou les 

 3 points réels Q^, Qij, Q,-, se trouveraient en ligne droite. On 

 vérifie facilement qu'il est impossible qu'une droite rencontre la 

 courbe S{x= t'', y = t'') en 3 points réels distincts. Quand le plan 

 (t, f-^) co'incide avec le plan de la courbe S les génératrices réelles 

 t et t.^ seraient dans le plan de la courbe S cequi est aussi impo.s- 

 sible. 



Il est donc impossible (^ue la droite t-^ est une droite réelle. 



Supposons que la génératrice t.^ soit une droite ponctuée. Le 

 paramètre du point do contact de la droite i.j est <., = te"""", par 

 conséquent, e" '"' est une racine de l'équation B. Donc v-, et i'"J sont 

 2 racines de l'équation B, par conséquent, Q.^ est un point d'une 

 des 4 courbes nodales planes S (§ 26). Connue pour le cas que t^ 

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