334 POINTS SINGUMERS DKS TOURBES GAUCHES. 



est une génératrice réelle, on démontre maintenant facilement 

 que cette droite i., ne peut pas être une droite ponctuée. 

 La génératrice t-^ est donc une droite imaginaire. 



Supposons que la droite t, qui rencontre les 2 droites ponctuées 

 conjuguées t^ et t.^ ne passe pas par leur point réel commun, mais 

 se trouve dans leur plan commun réel {t, t^ . t.,). Parce qu'on a 

 «2 = ^1 ^3 , ou bien o.^t = r^ r.j t , ou t^^ v ^ t-^ , la droite t.^ ren- 

 contre la droite t^. La droite ^, laquelle rencontre aussi la droite 

 /, doit donc se trouver dans le plan (t, t^) ou passer par le point 

 de rencontre Q., des droites t qI t^. La droite imaginaire t.^ ne 

 peut se trouver dans le plan réel {t, t^), donc elle passe par le 

 point 0,- Le point Q., est donc un point triple de la développa- 

 ble D. De inême ou démontre que la droite imaginaire <,; passe 

 par le point de rencontre Oj des droites t Qi t^ . Parce qu'on a 

 v.^ = v^ V ^ la droite t-^ rencontre la droite t^ , donc la droite t,^ , 

 laquelle rencontre aussi la droite t, passe par le point Q^ ou se 

 ti'ouve dans le plan [t, t.,^). Quand la droite i^ passe par le point 

 Q, , ce point est un point multiple dont le degré de multiplicité 

 est supérieur à 5. Supposons maintenant que la droite i^ ce trouve 

 dans le plan imaginaire [t, ^,). La droite réelle t rencontre la droite 

 ponctuée i^ et le plan (t,t^,t^) des droites t et t^ est un plan 

 imaginaire, la droite t passe donc par le point réel de la droite i^ ; 

 par ce point Q,, il passe également la droite ponctuée conjuguée 

 tr,. Le point Q^ est donc une point triple de la développable D. 

 Des relations r^ v,^ = 1, r., v^ ^^ 1, r., r,., = 1 il s'ensuit que les 3 

 points triples Qj, Q, et Q^ se trouvent sur une même courbe 

 nodale. Des trois points de rencontre de la génératrice i avec 

 cette courbe nodale il n'y a qu'un seul qui est réel. 



Quand la droite t ne se trouve pas dans le plan reel des droites 

 ponctuées conjuguées <, et t.^ mais passe par leur point réel com- 

 mun on trouve aussi que ce point est un point multiple dont le 

 degré est supérieur à 3 ou que ce point est un point triple. Dans 

 ce dernier cas la droite t rencontre les 6 droites <, , ^2 ' ' ^e ^n 

 3 points d'une même courbe nodale triple. Les génératrices t étant 

 des trisécantes de la courbe noclale triple cette courbe ne peut 

 pas être une courbe plane. On a donc le théorème: 



Quand une génératrice réelle rencontre une génératrice 'ponctuée 

 dont le '/nodule n'est pas Vunité, le point de rencontre est un point 

 multiple dont le degré de multiplicité est supérieur à 3 ou est un 



