338 POINTS SINCUMERS DES ('0UR.BF:S GAUCllKS. 



lier M{n,r,7)i) d'une courbe quelconque. En effet, quand une 

 courbe quelconque C', possède un point singulier M, {n, r, m) on 

 peut développer en série les coordonnées des points de la courbe 

 6'j dans le voisinage du point M de la manière suivante: ') 



b, t" + '' + i"- ^ etc. , 

 + c, <"^''^'' + etc. . 



De ces développements en série on peut déduire des séries 

 donnant les coordonnées des points des projections de la courbe 

 C, et des sections de la développable correspondante, les points 

 se trouvant dans le voisinage du point singulier M. On trouve 

 les nombres des singularités équivalentes au point singulier M 

 {n, r, m) en comptant les singularités équivalentes au point singulier, 

 correspondant au point M, des projections et des sections, (i^i^ 7,9, 10). 

 Le nombre des points ou des tangentes stationnaires équivalents à 

 un cycle 



■é = t\ >i=t" + At''-''' -^ etc. 



dépend seulement des 2 exposants N et M. En général, le nombre 

 des noeuds et des tangentes doubles équivalents au point singu- 

 lier dépendra de plusieurs termes du développement pour /;. ^) 

 Mais dans le cas spécial que les exposants N et 31 sont premiers 

 entre eux, le nombre des noeuds et des tangentes doubles dépend 

 seulement des 2 exposants N et M et est indépendant des expo- 

 sants suivants. Dans le cas que les exposants N et M sont premiers 

 entre eux, c'est à dire quand les conditions (A) sont satisfaites, 

 l'absence ou la présence de cas termes suivants ne peut pas 

 influencer le nombre des noeuds ou des tangentes doubles et on 

 devra donc trouver les mêmes résultats pour le point singulier 

 Mj(7i, r, m) de la courbe spéciale C{n,r,m) que pour le point 

 singulier M{n,r,m) de la courbe générale. On obtient donc, quand 

 Çj = g, == g.j = Çij = 1, que le point singulier Mi (n,r,m) de la 

 courbe spéciale C{n,r,m) ou d'une courbe quelconque est écri- 

 vaient à '■') 



') Halphen. Bulletin Je l. Soc. Mat. d. France, t. VI p. 10. 



^) Halphen. Mém. d. l. Ac. de Paris. T. 26. 



') W. A. Versluys. K. a. V. W. te Amsterdam. Verslag 25 Nov. 1905. 



