340 POINTS SINGULIERS DliS COURBES GAUCHES. 



courbe nodale consiste en (n -\- r — 2) courbes gauches de même 

 espèce que la courbe C {n, r, n) (§ 24). 



La courbe C{n,r,n) présente aux points M^ et M 2 la même 

 singularité. En chacun de ces 2 points se sont réunies les singu- 

 larités suivantes : 



M^ = M., = in — 'i)/^-\-in—l)cc-\-(r—l)'i + -^ H +■ 



(n — l)(n + r — 3)^ (r — l)(rH-r — 3) 

 + 2 ^ "^ 2 " • 



Mj et M 2 comptent chacun pour (n + r — 2)(2??, -t-r) intersec- 

 tions de l'arête de rebroussement et pour in + r — 2)-(2»-i-r) 

 intersections de la courbe nodale ? avec la deuxième surface 

 polaire â.- D {% 25, § 11). 



Les singularités de la courbe C{n,r,n) sont: 



Il ^ i' ^2n + r , 



Q = 2 (71 -1- r) , 



H = G={7i—l){n + r — 3), 

 u) ^ w'^ (r — 1) in + r — 3) , 



, = 2(r— ]), 

 h^= g ^v.(n — 1 ) -I- r (2 n -i- r — 1 ) : 2 , 

 I = j; = (« + y — 2) (2 n -h r) , 

 R = 2 {n 4- /■ — 2) (n + r) , 



'P ^ l :=^ k' ^ r = t' ^ , 



où X, /', r, r' sont les nombres des points, et des plans station- 

 naires, des points triples et des plans tritangents de la courbe 

 nodale 'i, se trouvant en dehors des singularités il/, et M.,- 



Des expressions donnant les coordonnées d'un point de la 

 courbe C{n,T,n) on déduit facilement xy = z. La courbe C(n,r,v) 

 se trouve donc sur un paraboloïde hyperbolique P'^. Chaque 

 trisécante de la courbe G(n,r,n) rencontrant le paraboloïde P- 

 en 3 points, chaque trisécante est une génératrice du paraboloïde 

 P^. Les trisécantes de la courbe C{n,r,m) ne formant pas une 

 développable D, parmi les N courbes nodales gauches I, il n'existe 

 pas 3 c[ui coïncident et forment une courbe triple. Les N courbes 

 I,- sont donc des courbes distinctes. Des 2N racines v^ de l'équa- 

 tion B (§ 22) il y a au plus 2 qui sont réelles et négatives (s 27), 



