POINTS SINOUIIKRS DRS COUKBES GAUCIIKS. 341 



des iV courbes S, il y a donc au plus une qui est l'intersection 

 de 2 nappes réelles. 



Chaque plan V passant par la génératrice Qiiy^^O, z^=0) 

 rencontre la courbe C{n,r,n) en 2n + r points, dont n -!- r se 

 trouvent sur la génératrice g^ (§ 3). Le plan V coupe le parabo- 

 loïde xy=^z suivant la droite 51, et suivant une seconde géné- 

 ratrice g. Les points de rencontre du plan V avec la courbe 

 C{n,r,n) doivent se trouver sur les 2 droites g^ et y. Des 2n + r 

 points de rencontre il y a n + r qui se trouvent sur la droite ^Ti, 

 donc il reste encore w qui se trouvent sur la droite g. La droite 

 g est parallèle au plan a; = 0, si donc on coupe la courbe 

 C{n,r,n) par un plan x=p, ce plan rencontre la courbe C{n,r,n) 

 au point jV., {n + r) fois et encore en n points qui sont en ligne 

 droite. 



En coupant la courbe G (n, r, n) et le paraboloide par un plan 

 quelconque passant par la génératrice g, on démontre facilement 

 que les génératrices de l'autre système que g rencontrent la courbe 

 C{n,r,n) en ?i ■+■ r points 



§ 32. Cas que n = m et r^l. 



Spécialisons encore un peu le cas du § 31 et supposons n = m, 

 r = l. Les expressions des coordonnées d'un point de la courbe 

 C {n, \,n) sont 



,n , » + 1 _ , 2 » + 1 



x=t , y = t , z = t 



On aura encore qi =q2'=<li =^k = ^> donc N = n — 1. La 

 courbe nodale S consiste donc en n — 1 courbes g, distinctes et 

 de même espèce que la courbe C{n,l,7i). 



En remplaçant, dans les résultats du § 31, r par 1 on trouve 

 facilement, 



J/, = M., = {n — 1) /:? + {n — 1) « + l(7i — 1) {n — 2) : 2( H +■ 

 + j(n— 1)(« — 2):2jG. 



Les points /!/, et M ^_ comptent chacun pour (n — l)(2n + 1) 

 intersections de l'arête de rebroussement C [n, \,n) et pour (?i — 1)- 

 (2w + 1) intersections de la courbe nodale I avec la deuxième 

 surface polaire a 2 D. 



Les singularités de la courbe C{n,\,n) sont: 

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