342 POINTS SINGUI,IERS DES COURBES GAUCHES. 



V ^ !4 =2n -i- 1 , h= g = n^ , 



Q=2{n+1), r]:= ^ ={n — l){2n + \), 

 ß=a = 2(n — l), R = 2 (n^ — 1) , 



H=G = {n—\){n — 2), jj = k == À' = t =^t' = 0. 



a)=(o'=(l = , 



§ 33. Cas que n = m = 1. 



Considérons le cas spécial (|ue los coordonnéps d'un point de 

 la courbe C(],r, 1) sont données par les expressions: 



x=^t, y =^ t' '^ , «=i'^". 



Le point M^ (l,r, 1) est un point ordinaire et le plan osculateur 

 est un plan ordinaire, tandis que la tangente au point My est une 

 tangente singulière. On trouve de nouveau ç, =Ç2=(Z3=Î4 =1; 

 N^r — 1. La courbe nodale consiste en (r — 1) courbes de même 

 espèce que la courbe C(l,r, 1); ces r — 1 courbes sont des courbes 

 distinctes (§ 31). 



Aux points y)'/, et M o se sont réunies les singularités suivantes: 



M, =.M^={r — '\)n +|(r— ncr — 2):2jw+j(r — l)(r — 2):2j a>' . 



Les points 31 ^ et AI^ comptent chacun pour (r — 1) (r + 2) 

 intersections de l'arête de rebroussement C{],r,'\) et pour 

 (r — 1)2 (r + 2) intersections de la courbe nodale I avec la 

 deuxième surface polaire A^ D. 



Les singularités de la courbe C(i,r, 1) sont: 



^t ^ V z=r + 2 , ß r= a =0 , 



e=2(r+l), ö=.2(r — i), 



H=G = 0, a; = a,'=(r — i)(r — 2), 



h= g =r{r ^ i):2, ^ = ,/ = (r _ -1) (r + 2) , 

 p= A =À' = T' = r = 0, R = 2{r^ —i). 



Chaque plan passant par la droite g , , tangente à la courbe C (1 ,r,l) 

 au point M y, rencontre la courbe encore une seule fois en dehors 

 du point singulier ,¥,. De même pour les plans passant par la 

 seconde tangente singulière g^- Les 2 faisceaux de plans, dont 

 les tangentes singulières g^ et (/j sont les axes, sont projectifs, 2 

 plans correspondants passant par le même point de la courbe 

 C{i,r,i). Les droites d'intersection des plans correspodants sont 



