POINTS SINGUrjKRS UV.ü COUKHKS C.AUCIIKS. 34^^ 



les génératrices d'une surface quadratique. Cliaque génératrice de 

 ce système rencontre la courbe C'(l,r, 1) une seule fois. Les 

 génératrices du second système ont donc chacune (r + 1) points 

 de commun avec la courbe C(l,r, 1). 



§ 34. Cas que r = m=^ 1, n est im nombre impair. 

 Considérons la courbe C(«, 1,1) dont les expressions d(jnnant 

 les coordonnées d'un de ses points sont 



. H j n 4- 1 , î? + '2 



x=< , y = t , z=^ t . 



Quand n est un nombre impair, la courbe 6'(?i, 1, 1) appartient aux 

 courbes traitées au § 30 pour lesquelles on a (j', =^'2 =53 =^4 = 1. 

 Les résultats obtenus pour le point singulier yJ/j (n, 1, 1) situé 

 sur la courbe spéciale 6'(?i, 1,1) sont donc applicables à un point 

 singulier (71, 1,1) d'une courbe quelconque. Le point il/, (w, 1,1) 

 est un point singulier tandis que la tangente au point yf/, est 

 une tangente ordinaire et le plan osculateur au point J/, est un 

 plan osculateur ordinaire. 



Le plan M^ est un point ordinaire, la tangente au point A/^ 

 est une tangente ordinaire, tandis que le plan osculateur au point 

 Mr, est un plan osculateur singulier. 



Aux points M f et M^ se sont réunies les singularités suivantes : 



Mi=^{n — i)fi + \{n—l){n — 2):2\H, 

 M2 =^(n — i)a + j(n — 1)(w — 2):2i G . 



Les sections planes S sont des courbes simples et la courbe 

 nodale consiste en N ^ {n — 1):2 courbes I, de même espèce que 

 la courbe C(n, 1, 1). 



Par le point 37, il passe 71 (n — 1):2 branches de la courbe 

 nodale. Par le point M^ il passe (n — 1 ) : 2 branches de la courbe nodale. 



Le point i¥, compte pour {n — \) (n + 2) intersections de l'arête 

 de rebroussement et pour {n — l)Mn + 2):2 intersections de la 

 courbe nodale avec la deuxième surface polaire A^ D. 



Le point M^ ne se trouve pas sur la deuxième surface polaire A- D. 



Les singularités de la courbe 6'{7;,, 1,1) sont: 



V = ,u = 7i + 2 , (i =iu=^n — 1 , 



? = » 4- 3 , 0) = 0)'^ = 0, 



H^G = (n — 1) {n — 2) : 2, g = »î = (îi— 1) {n + 2) : 2, 



h=^g=n, ß = ('/i — l)(7i + 3):2, 



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