344 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES 



Des expressions pour les coordonnées d'un point de la courbe 

 (7(71,1,1) on déduit y^=^xz, la courbe C{n,l,l) se trouve donc 

 sur un cône quadratique K^. Par conséquent, la courbe C(», 1,1) 

 ne possède pas de trisécantes, chaque droite rencontrant la courbe 

 C{n,i, i) en 3 points devant être une génératrice du cône quadra- 

 tique, et chaque génératrice du cône K'^ rencontrant la courbe 

 C {n,'\, 1 ) au point tî/ , et en un seul autre point. Les {n — 1 ) : 2 

 courbes nodales sont donc des courbes distinctes (§ 26). 



Les nombres n, r et m étant tous les 3 impairs le nombre des 

 racines réelles négatives est nulle (S 27). Aucune des [n — 1):2 

 courbes nodales est l'intersection de 2 nappes réelles. 



§ 35. Cas que r ^m ^ l, n est un nombre 'pair. 



Considérons le cas que les coordonnées d'un point de la courbe 

 sont comme au § 34 



.H ,»i + l .n + 2 



x^t , y = t , z= t , 



mais supposons maintenant q\ae n soit un nombre pair. On aura 

 Çj=:ç,=g^ = l, mais q^=2, les résultats trouvés pour un 

 cycle (w, 1,1) moyennant la courbe spéciale C{n,l,\) ne sont 

 plus nécessairement vrais pour un cycle (%, 1, 1) d'une courbe 

 quelconque (§ 30). Pourtant les résultats obtenus pour un cycle 

 appartenant à une courbe C{n,l,\) peuvent être encore appli- 

 cables à un cycle d'une courbe plus générale. Par exemple, quand 

 n = 2 on retrouve pour le point stationnaire /:? de la courbe 

 C(2, 1, 1) les résultats obtenus par Cremona pour un point station- 

 naire ordinaire d'une courbe quelconque (§ 36 I). 



On trouve N=(n — 2) : 2. La courbe nodale se décompose donc 

 en une courbe nodale plane -5"^ (§ 12) du degré (w + 2) : 2 et en 

 [n — 2) : 2 courbes gauches §i, de même espèce que la courbe 

 C(w, 1,1). Par le point singulier M^ il passe donc -h, (w — 2) : 2 

 branches nodales tangentes à la courbe C(w, 1,1) au point /^7, et 

 y ayant même plan osculateur. En outre il passe par le point 

 M^ encore n:2 branches tangentes au point M, à la courbe 

 (to, 1,1) mais ayant un autre plan osculateur que la courbe 

 0(71,1,1). Par le point M^ il passe {n — 2) : 2 branches nodales 

 qui y sont tangentes à la courbe C(n, 1,1) et y possèdent le 

 même plan osculateur. En outre il passe par le point M^ une 

 branche nodale non tangente à la courbe C{n, 1,1) mais dont la 

 tangente se trouve dans le plan osculateur de l'arête de rebrousse- 

 ment C {n, 1, 1), tandis que les plans osculateurs des courbes 



