348 POINTS SINGULIERS DES COÜRBKS GAUCHES. 



En éliminant p et t on obtient l'équation d'une surface sur 

 laquelle se trouvent toutes les courbes J^, . Cette surface est: 



(y'^ + a;2 z) iy"^ — a;^ z) = 0. 



Les quartiques I,,. pour lesquelles p est un nombre pair, se 

 trouvent sur la réglée cubique y^ — a;^ z = 0. 



Les quartiques 1^,, pour lesquelles p est un nombre impair, se 

 trouvent sur la réglée cubique y^ + a;- z = 0. 



La courbe primitive C''{\,2,'\) est l'intersection partielle des 

 2 surfaces xy=z et y- ^ x"^ z. 



§ 37. Application à la courhe C^ (3, 1, 1). 



Prenons n =^ 3, 7-=^m = l, la courbe C(n,m,r) sera la courbe 

 05(3,1,1) 



x=P, y = t\ z = t^. 



On aura q^ =Ç2'=33=^?4 = 1 et on peut appliquer les formules 

 du § 34. On trouve N=l, M^=2ß ^ H, 31^ = 2« + G. Le point 

 il'/j compte pour 10 intersections de l'arête de rebroussement et 

 de la courbe nodale avec la deuxième surface polaire a^ Z). Par 

 le point il/j il passe 3 branches de la courbe nodale; ces 3 

 branches forment un cycle (3, 1, 1), elles sont tangentes au point 

 M^ à l'arête de rebroussement C'^ (3, 1,1) et y possèdent le même 

 plan osculateur. Le point M., ne se trouve pas sur la surface 

 a2 D, Par le point M^ il passe une branche de la courbe nodale, 

 qui y est tangente à l'arête de rebroussement C^ (3, 1, 1) et y 

 possède le même plan osculateur singulier. 



Les singularités de la courbe C^ (3, 1, 1), et aussi celles de la 

 courbe nodale, sont: 



V = ,u = 5, p = 6, « = /:? = 2, H = G=\, h = g = 3, è = ri = 5, 



ü = a> = a)' = 0, |) = A = A'=:i- = r' = 0, E = 6'). 



L'équation i? du § 22 est: 



3 ^6 _ 8 ^5 + 5 v'' + 5 'î;2 — 8 i; 4- 3 = 0, 



ou bien, (v — 1)^ (3 v^ + 4 v -h 3) = 0. 



L'équation donnant les racines v,, correspondant aux courbes 

 nodales gauches est donc 



') E. Pascal. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 511. 



