POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 349 



8^2+4^ + 3-0, 



d'où V, = (— 2 + 1/ — 5) -.3, v,_ = {—2 — i^ -^) : 3. 



La génératrice t tangente à la courbe C^ (3,1,1) au point P (t) 

 de paramètre t rencontre aux points Q, et Q^ les génératrices /, 

 et t., tangentes à la courbe C^ (3, 1, 1) aux points P, (v, t), P.^ (v, 

 dont les paramètres sont 



t^=t{—2 + i/-^) : 3 et 1^ = 1 {—2— ^^b) : 3. 



Les paramètres i, et i^ étant imaginaires, les points P, et P., 

 et les tangentes en ces points sont également imaginaires. Le 

 rapport t^: t^^^ ( — 1 — 4 ^ — 5) : 9 n'étant pas une racine de l'équa- 

 tion B (§ 22), les deux génératrices t^ et i, ne se rencontrent pas, 

 donc les génératrices i, et f, ne sont pas des droites ponctuées (S 27). 



Les points Q, et 0, sont donc des points imaginaires et la 

 partie de la courbe nodale qui se trouve sur la nappe réelle de 

 la développable Ü est donc imaginaire. Le module de v^ étant 

 l'unité la courbe nodale est d'après § 28 une courbe isolée, c'est 

 ce que nous allons vérifier en déterminant les coordonnées du 

 point Qt de la courbe nodale. Ces coordonnées sont, d'après les 

 formules A du § 24, 



n + r y' '1 4 v^ — i 4 ^ ^ ^ ^ ' ' 



P —Av. ^'6v^ A^/^^f .o 



n V 1 ^ öv^ — 1 '3^1 ' ' ' Ó S 



--.'SK'^r. 



^5 '-i 



-^{v +l)(v, + l)v,-= 



■r-^»-«» V"''^ 3,/2. 



I Xv 



En remplayant — t y ^^ par t les expressions pour les coor- 

 données d'un point de la courbe nodale 'i.^ deviennent 



a;=<3l^2, y = —t\ 2=<&3l/2. 

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