350 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



La courbe nodale ç, est donc une courbe réelle. Elle ne se 

 trouve pas sur la nappe réelle de la développable D, par consé- 

 quent, la courbe nodale iij est une courbe isolée. 



Les tangentes à la courbe gj engendrent une développable D^ 

 sur la quelle se trouve une courbe nodale I,) '^[^^ ^^^ une courbe 

 de même espèce que les courbes C^ (3.1, 1) et l,. En continuant 

 de la sorte on détermine une série de courbes du degré cinq et 

 de même espèce que la courbe C" (3, 1.1). Chaque courbe de cette 

 série est la nodale sur la développable dont la précédante est 

 l'arête de rebroussement. Les coordonnées d'un point d'une quel- 

 conque I;, de ces courbes sont: 



x=P (l/t2)", // = <» (— If, z=t'{3 1/2)''. 



La courbe C^ (3,1,1) est l'intersection partielle des 2 surfaces 

 (/2 ^xz et y x~ =2-. Les génératrices du cône y- ^xz sont des 

 quadrisécantes de la courbe C^ (3, 1,1). 3 des points de rencontre 

 coincidant avec le point il/, (3,1,1). 



En déterminant le rang R de la courbe nodale |, on trouve, 

 en appliquant une des formules ordinaires suivantes 



R^ou + 6Q — Zr — 9u — 3n — 2G'). 

 fl = o(,< — .3) — 3« — 2(?2)^ 



pour R la valeur 4, résultat qui est évidemment faux. Le désacord 

 est dû à l'introduction de la singularité G pour chaque noeud 

 ordinaire k de la courbe nodale. Quand la développable D ne 

 présente aucune singularité supérieure, chaque plan double G 

 donne en effet un noeud k sur la courbe nodale et réciproquement. 

 Le plan osculateur singulier au point M., est pour notre courbe 

 C^ (3. 1, 1) un plan double G tandis que le point M, n'est pas 

 un noeud k de la courbe nodale. 



§ 38. Application à la courbe C'-" (2, 1,2). 



Posons n = ?n = 2 , r = 1 la courbe G (n, r, m) devient la courbe 

 C^ (2,1,2). Les coordonnées d'un point de cette courbe sont: 



.r= V^, y = P, z= i^ 



') E. Pascal. Rep. d. Mat. Sup. II, p. 322. 

 ^) Cremona — CoRTZE. Oberflächen, § 112. 



