POINTS SINGUI-IKIIS DKS COURBES GAUCHES. 351 



On aura 3i ^ ?2 = îa = ?i = ^ ^^ ^^ appliquant les formules 

 du § 32 on trouve: iV= 1, A/^ = /l/^ =« + />'. Les points singu- 

 liers yJ/, (2,1,2) et M^ (2,1,2) comptent chacun pour 5 intersec- 

 tions de l'arête de rebroussement et de la courbe nodale avec la 

 surface a^ D. Par chacun des points yV/, et 3J^ il passe 2 branches 

 de la courlje nodale £,. Ces 2 branches nodales forment un cycle 

 (2,1,2), elles sont tangentes à la courbe C^ (2, 1, 2), et ont le 

 même plan osculateur. 



Les singularités de la courbe C-' (2, 1,2) et également celles de 

 la courbe nodale I, sont: 



r = ,. = 5, t' = 6, a = /i = 2, H=G = 0, h = g = é, | = ;? = 5, 

 ö = a> = co' = 0, X = X' = t = t'=p==0, i2 = 6>). 



L'équation 5 du § 22 est: 



ou bien {v — 1)" (4v- -h 7t' -I- 4) = 0. 



L'équation donnant les valeurs du rapport v^, correspondant 

 aux hranches nodales gauches, est donc: 



4-^2 +7^ + 4 = 0^ 



— 7 + 1/^15 — 7 — l'^^Tö 

 d ou Vj = n et t;, = ^ . 



La tangente au point F (t) de paramètre / rencontre donc les 

 tangentes à la courbe C" (2,1,2) aux points P, (t^) et P^ (t.,) de 

 paramètre t^ et t^ où <j =i;, < et <, =''^2 ^- ^^^ rapports v, et v, 

 étant imaginaires les tangentes i, et <2 sont également imaginaires. 

 On vérifie facilement que les 2 droites <, et <., ne se rencontrent 

 pas, ces droites ne sont donc pas des droites ponctuées. Les points 

 de rencontre des tangentes <, et t.^ avec la tangente t sont donc 

 des points imaginaires. La courbe |, correspondant aux racines 

 v^ et i', de l'équation B est une courbe isolée réelle puisque les 



2 tangentes aux points de paramètre tv^ et tv ^ -^ sont deux 

 droites imaginaires conjuguées, qui se rencontrent en un point 



de la courbe S,, le rapport tv^:tv^ - étant v, et quand 2 droites 



') E. Pascal. Re}}. d. Mat. Sup. II, p. 511. 



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