POINTS .SINGUl.IKIÎS DES ('OURBKS GAUCHES. 353 



Oll aura q^ =2, q.,=q.^^q^=^[; en appliquant les formules du 

 § 29 on obtient : N= \, Mj=/i + H + ii + m, M^ =u + G + 'i + to'. 

 La tangente à la courbe C^ (2, 2, 1) au point singulier 3/, est donc 

 une tangente singulière double sans être une génératrice double <«' de 

 la développable D, tandis que la tangente au point singulier Mo ('1, 2, 2) 

 est une génératrice double sans être une tangente double «> (§10). 



La courbe nodale Ç se décompose en une courbe gauche Ij de 

 même espèce que la courbe C^ (2, 2, 1) et en une courbe plane 

 S s située dans le plan 2 = 0. L'équation de la courbe nodale 

 plane S, est 5 x- =9y ■(§ 12). 



Par le point J/j il passe 'S branches de courbes nodales, dont 

 2 forment un cycle (2,2,1). Les 3 branches sont tangentes au 

 point i/, à la courbe C^ (2,2, 1) et y ont le même plan oscula- 

 teur que cette arête de rebroussement. 



Par le point il/, (1,2, 2) il passe une branche d'une courbe 

 nodale, y présentant la même singularité que la courbe C^ (2, 2, 1)^ 

 cette branche est au point M^ tangente à l'arête de rebroussement 

 G^ (2,2,1) et y possède le même plan osculateur 



Le point />/, compte pour 10 intersections de l'arête de rebrous- 

 sement et de la courbe nodale gauche avec la surface a- I). Le 

 point ilfj compte pour 5 intersections de la nodale plane S. avec 

 la deuxième surface polaire a- I) (§S 11, 21, 25). 



Les singularités de la courbe C" (2,2,1) et de la courbe nodale 

 gauche I, sont: 



v = u = 5, (. = 7. ß = a = l, H=G = 1. h = g = A, t = ri = l 



= 2, a, = a>' = 1 , À = ;/ = r = r' =_?3 = 0, R = %. 



L'équation donnant les rapports r,, correspondant aux courbes 

 nodales gauches {%12,B), est: 



2ü^ — \2v^ + lOr' + XOvi — \2v'- +2 = 

 ou bien (v — l)-' {v'- — I) {v- + 3r + 1) = 



La racine différente de l'unité qui annule le facteur r- — I cor- 

 respond à la courbe nodale plane S; f§ 23) Les racines de l'équa- 

 tion i;- + Zv -^ 1=0 correspondent aux branches de la courbe 

 nodale gauche (§ 24). 



—3-1-1/5 — 3— v'5 

 Les racines sont v, = ^ > ''^2 ^ ö » ^®^ racines 



