356 POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES. 



qui est impossible. Par conséquent, il n'existe pas une courbe 

 C^, présentant les mêmes singularités que la courbe C" (2, 2, 1) 

 mais sur laquelle ces singularités sont séparées. Quand on trans- 

 forme la courbe C^ (5,2, 1) d'une manière continue en une courbe 

 C^ pour laquelle ,« = 5, ,, .= 7, j9 ^ et où les singularités M^ et 

 iV/, se décomposent en des singularités ordinaires il faut que le 

 noeud effectif H qui se trouve au point Jf, se transforme en un 

 noeud apparant li. Pour cette courbe C^ on aurait donc h = 5, 

 A = 3. 



§ 40. Application à la courbe C^ (1,3, 1). 



Posons 71^ m ^ \, r = 3, la courbe C {n, r, m) devient la courbe 

 C^ (1,3, 1) donnée par les équations 



a;= «, y = t^, 2 = t^. 



On aura ?i ^ Ço ^ Î3 = îi "^ ^ '^^ ^^ appliquant les formules 

 du § 33 on trouve: iV= 2, i\/, = M.,=2ß -h œ + w'. Par chacun 

 des points M^ et :U, il passe 2 branches de courbes nodales. 

 Chacune de ces '2 branches y présente la singularité (1,3,1), y 

 est tangente à l'arête de rebroussement C^ (1, 3, 1) et y possède le 

 même plan osculateur que l'arête de rebroussement. 



Chacun des points Mi et ilf, compte pour 10 intersections de 

 l'arête de rebroussement et pour 20 intersections des branches 

 nodales avec la deuxième surface polaire A^ A 



Les singularités de la courbe G^ et également celles de chacune 

 des 2 courbes nodales sont : 



,. = ,u = 5, c' = 8, « = /:? = 0, H=G = 0, h^g = 6, S = >]= 10, 

 11 = 4:, CÜ = co' = 2, À = À' = r = r' = 2J = 0, R=16. 



L'équation ß (§ 22) est 



yS _ 16 „5 + 30 v^ — 16 «3 +1= 0, 

 (y — 1)* (v^ +4i;3 + I0y2 +4i' + 1) = 0. 



L'équation donnant les racines v^, correspondant aux nodales 

 gauches est donc: 



«4 -h Av'^ + 10^2 + 4 y + 1 ^ 0, 

 \v'- +2{\—i)v + l[ ]v'- +2{1 +i)v-hl\=0. 



Soient u, et o^ les racines de l'équation 



ü2 -+- 2(1— i)î; + 1 = 0, 



