358 POINTS SINCUMKIIS HKS COUKIÎKS CAUCIIES. 



gentes singulières n au nombre de 4 et w' ;iu nombre de 2 quand 

 ces taugentes sont des droites distinctes, puisque cette courbe ren- 

 contrerait la surface a 2 //_ du degré 6, en 5x2 + 6x4 = 34 

 points, cequi est impossible (§ 39). 



§ 41. Application à la courbe T''' (4. 1, 1). 



Posons 11^=4, r = 771=1. Les coordonnées d'un point de la 

 courbe C' (4, 1 , 1 ) sont 



x^t'>, 11 = r\ z = iS>. 



En appliquant les formules du § 35 on obtient, jj, =j*2 =P3^1> 

 2)^=2. La section plane .S,, est une courbe nodale dont l'équation 

 est (§ 42): bx' =zK 



iV = 1 ; M, = 3 ft + 3 //, M, = 3 « + 3 0. 



Le point M ^ compte pour 18 intersections de la courbe C'"' (4, 1. 1) 

 et pour 18 + 6 intersections de la courbe nodale avec la surface 



Par le point ifj il passe 4 branches de la courbe nodale gauche 

 è'i, formant un cycle (4, l,!) et 2 branches de la courbe nodale 

 plane S,,, formant un cycle (2.1). Ces 6 branches sont tangentes 

 à la courbe T'^ (4, -1,1). 



Par le point M, il passe une branche de la courbe i, formant 

 un cycle (1,1,4) et une branche de la courbe plane N,, lormant 

 un cycle (1, 2). 



L'équation B du j:; 22 est 



(„_!):•. (,„i_i)(2v'- +')) + 2) = 0; 



1;, ^= ( — 1 + l^ — 15) : 4, I v I = 1, donc la courbe S, est une courbe 

 isolée (§ 28). Les coordonnées d'un point de la courbe 'i^ sont: 



X =t* -.4, 1/ = {t'-' h'6) : 16, ,c = f' : 4. 



L'équation du plan osculateur de la courbe C""' (4,1,1) est (J;; 4), 

 15f'x — 24 ty + 10:. — <'> =0. 



Les singularités de la courbe C"' (4,1,1) sont: 



;< = u = 6, (. = 7, « = /:? = 3, iï= G = 3, h = g = 4, | = ,y = 9, 

 Ü == 0, = Ü,' = U, À = À' = r = r' =^ = 0, ß = 7 + 3 = 10. 



