POINTS SlNUUI.llîKS i)l'.S COUKBK.S (iAUCIll'.S. o59 



lOii ;iiii)li(iuaiit, pour déterminer B, la formule de (Jukmona ') 



R=„{,, — Z) — 3a — 2G, 



an celU' de Pascal-), on trouve R=^6. Im plan osculateur de la 

 courbe C' (4, 1, 1) au point M^ est équivalent à 3 plans doubles 

 G, tandis que le point M.^ est un seul noeud k de la courbe 

 nodale. En supposant G=^k^^ \ la formule de Ckü.mona (et celle 

 de Pascal) doinie notre résultat ƒ? = 10 (§37). 



La courbe C'' (4, 1, 1) est rintersection complète des 2 surfaces 

 2/2 =-. xz, z- = x-*. 



§ 42. Apiilication à la cowrbe G*'' (3, 1/i). 



Posons n = 3, r=l, m = 2. Les coordonnées d'un point de la 

 courbe C' (3, 1,2) sont 



x = t'\ y=t\ z= t^. 



En appliquant les formules du v^ 29 on obtient: ç,=;(y, = l, 

 (/.,:= 2, '^4 = 3, iV = 0. La courbe nodale se décompose eu 2 

 courbes planes S,,, et Sy . La section plane S,j est une courbe triple 

 donnée par l'équation (§ 12) 8x- -h 2 = 0, l'équation de courbe double 

 Ä, est (§ 12) 21 y-' + z'' = 0. M, =2/-; + H -h a, A/, ^ß + G + 2«. 

 iWj et M 2 comptent respectivement pour 12 et 6 intersections de 

 l'arête de rebroussement C^ (3, 1,2) avec la surface a- D. 



La courbe nodale 6',,. rencontre la surface a D 6 fois au point 

 M, et 3 fois au point M., (§ 20). 



Les singularités de la courbe C' (3,1,2) sont: 



r = u = 6, (. = 7, /y = « = 3, H=G=^\, h^g^Q, é = >i = 9, 



Ö = CO =- w' =- 0, À = ;/ = r = r' = p = 0, R = d. 



En appliquant pour déterminer R la formule de Ckemona (§41) 

 ou trouve R=\0, résultat qui est évidemment faux. Le désacoi'd 

 est dû à la présence d'une courbe nodale triple, tandis que 

 Cremona suppose dans sa démonstration (|ue la courbe nodale ^ 

 est une courbe tlouble. 



L'équation du plan osculateur de la courbe C'''(3, 1,2) est: 

 8 1'^ z — d f- y + 2z — t^ = 0. 



') Cremona -Cdrtze, Oberflächen. § 112. 

 2) E. Pascal. Ätp. d. Mat. Siq). II, p. 322. 



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