362 l'ülNTS SIN(;UMEUS DES CUUU15KS OAUUHKS. 



on trouve R^^22. La formule de Gkemona pour le raiiy de la 

 courbe nodale n'est donc plus applicable quand Varêie de rebrous- 

 sement présente des singularités supérieures. 



La courbe C^ (2, 3, 1) est l'intersection partielle des 2 surfaces 

 z = a;3 et 2/2 =a;^ z. 



Il n'existe pas une courbe C"^ possédant les mêmes singularités 

 que la courbe C^ (2,3, 1) et où toutes les singularités sont sépa- 

 rées, puisque ') cette courbe rencontrerait la deuxième surface 

 polaire A- D prise par rapport à un point P, 1° 12 fois en les 

 ,i( = 6 points de contact de plans osculateurs passant par le point 

 P, 2° quatre fois en chacune des singularités, /V, k, ", «>'. La courbe 

 C' rencontrerait donc la surface a- D (du degré 7) en tout 

 12 + 9x4 = 48 fois cequi est impossible. La même remarque 

 s'applique aux courbes O (4, 1,1), C' (3, 2, 1), 6'^ (1, 4, 1). 



§ 45. AppÂication à la courbe 6''''(1,4, 1). 



Posons n = m = 1, r = 4, les coordonnées d'un point de la courbe 

 C 6 (1,4, 1) sont: 



x=^t, y = t^, z= «'■>. 



En appliquant les formules du § 33, et en tenaut compte de 

 cequ'on a Ç( = (/, = î^ = '/^ ^ • (^ '4) on trouve : 



A'= 3, il/j = 3" + 3 « + 3to' = il/.- 



Par le point M ^ il passe 3 branches de la courbe nodale, chaque 

 branche présente au point M ^ la singularité (1,4, 1), y est tangente 

 à l'arête de rebroussement et y possède le même plan osculateur; 

 de même pour le point M ,^. 



Les points il/, et M, comptent chacun pour 18 intersections 

 de l'arête de rebroussement et pour 54 intersections de la courbe 

 nodale avec la deuxième surface polaire A- D. 



L'équation B du S 22 est: 



^.10 — 25v'' + 48 <;5 _ 25 v" — 1=0, 

 {v— [)" {v^ + 4:0^ + 'lOw" + 20 i;^ + lOv- + Av + 1) = Ü. 



1 



En jjosant v -\ =w le second facteur devient: 



') Cremoma — Cdrtze, Oberflächen, § 101. 



