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376 SUR I.A RKDUCTION d'uN SYSTÈME QDEUÎONQUE DE l'ORCES, ETC. 



cette équation disparaissant en même temps. Car l'élimination des 

 quatre quantités 11,, de (13) donne 



A',4 A'4.: A'03 



— Ä'34 K\^ /vii 



I — A« — Ku (' A'io 



j — 7v23 — A',, — 7^0 



et le déterminant gauche symétrique d'ordre pair du premier mem- 

 bre se réduit à (J: AV. Ä'u)^- 



L'espace tridimensional {É ',/?'"') devient indéterminé, si les deux 

 forces É^\ É'^ se réduisent à une force unique, c'est-à-dire si les 

 couples K,i^n sont les composants hexaédriques orthogonaux d'un 

 couple unique K et que la résultante R agissant en se trouve 

 dans le plan de ce couple mené par 0. Mais voilà précisément ce 

 qu' expriment les équations (13) 



c) Sous les conditions -^^ = 0, (</ = 1, 2, 3, 4), 1: K.2sKu-^0 l'es- 

 pace tridimensional (jB'", a'"') passe à l'infini. Alors le système 

 donné de forces se réduit à deux couples; de la réduction de ce 

 système à deux couples situés en des plans perpendiculaires l'un 

 à l'autre nous nous sommes occupés plus haut. 



d) Sous les conditions Ji,,^0 et A'^./, = il y a équilibre. Les 

 dix quantités Hg^ Kri,h étant indépendantes les unes des autres, le 

 nombre des systèmes de forces différents en Ei est 00 ^^. 



8. D'après le théorème découvert en 1828 par Chasles tous les 

 tétraèdres, admettant comme un des trois couples d'arêtes oppo- 

 sées deux forces pouvant remplacer un système de forces donné 

 en E-i, ont même volume. Nous démontrons ce théorème à l'aide 

 des équations (10) pour les systèmes de forces Bt ', B^' de l'espace (12). 



Dans E^ le volume tridimensional du tétraèdre aux sommets 



il) (1) , Dili (-21 |2) , TjILll 



X , X + R , X , X + R 



se détermine par la relation 



F' = F; -(- 7: + f: + F; 



1 - ■• 4 ! 



^n ^2' ^;)) ^ï représentant les projections du volume cherché 

 F sur les quatre espaces de projection 0(1', X; A\), (1', X^ A'J, 

 0(A-, A-, AJ, 0{X,X^X,). 



Or, on trouve que 6 Fj, tJ F^, 6 F., 6 F^ sont les déterminants 

 compris dans la matrice 



