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R' 



Ji' 



K , St 



ou dans 



a;;"-x;^ ^"-xf , x^"-a^\ x;"-a;f 



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L 



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-,(11 



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Donc on a, eu égard à (10), 

 ± 6 Fl = i?, (/v;, — B, «;;' + ÄJ xf ) + Ä,, (A^4-i — i2> •<' + iÜ4 a;f ) + 



+ Ri (A'o, — A3 xf + ÄO xf ), 



etc., 

 ce qui se réduit à 



± 6 Fl = /v,4 Ä, + 7v'4o Ä, + A',,; Ri 



± 6 Fo = A',:; Ä, + A', , R: + A'n R, I 

 ±eV-^ = K-M Ri + h'ii Äo + A'i. R. 

 ±6V, = A'h Ri + A'i;j R, + A',1 Ä 

 Donc 



36 V- = (A'i4 R' + A,, ^1?:; + A,, R,y + (k-r.i Ri + A',4 R, + K:a Ri)- 

 + (7v'24 Ä, + A'41 Ro + /v'io A4) 2 + (A'..2 Al + A'n R2 + A'2, A3)-, 



ce (jui prouve le théorèuie. 



a) Si le système des forces se réduit à une force unique, le 

 volume 1' doit disparaître; c'est ce qui arrive en effet, les écjua- 

 tions (13) ne différant guère des équations F^ = 0. 



Ce que nous venons de trouver démontre que les Iractions 



V, 



-jß sont les produits des cosinus des deux angles formés par 



l'espace (/?''', Ä'-') avec les espaces coordonnés. 



b) Sous les quatre conditions R,, = 0, les expressions F,, s'annu- 

 lent tout de même et l'on retrouve V =0. Dans ce cas le système 

 des forces donné se réduit à deux couples, c'est-à-dire à deux 

 forces situées à l'infini, de manière que l'espace tridimensional 

 contenant les deux résultantes se trouve à l'infini. Or, chaque 

 point à l'infini en Ei se projette à l'inlini sur chacun des espaces 

 coordonnés; donc les volumes Vf, V.^, V-.,, V.^ doivent s'annuler, 

 ces projections se réduisant à des figures planes. Il va sans dire 



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