SUR liA KÉIJUCTION u'UN SYSTKME QLKl.CONaL'E 1>K FOliLKS, KTC'. 370 

 -et 



$2 S3 ^_^_ 



K:U Ri X:i + RaXi Ki2 R2Xi + Bi X2 /^2J RzX2 + R'Xi 



= -J__ ^^_, (15) 



K^ X.2 + Ki2 X3 + A 2:3 X^ 



ce (|ui démontre que le point {x^,x.^,Xi,) et le plan {'s^,, é:;> ^O 

 sont (les éléments coiTespondants de deux systèmes réciproques 

 en O (.v.. A'.. A',,) situés de manièi'e que chaque point {x.,,x-^,x^) 

 se trouve dans le plan (14) correspondant, en d'autres termes que 

 ces éléments {x.,,x.^,Xi^) et (S,. S.;, |,,) engendrent un système focal 

 en 0{X., A'.( A\). Mais dès lors on voit tout de suite que la même 

 relation doit lier entre eux le point et le plan de l'espace (12) 

 dont {x.,,x.^,x„) et (i^/é-^/è^) sont les projections sur OiX^ A'.. Xj. 

 a) La première des équations (13) exprime que les plans de 

 l'espace (A., A'., A',,), dont les équations 



A'm — ^'\ X.^ + I!.^ X^ = 0, AVj — /.', «4 + A'i «2 = Oj ^ ^jg» 



7v'o:j R.^ «2 + -^2 ^3 "=0, A'.jjXo + A'joX. -{- /Cj^-^ =0 * 



s'obtiennent en annulant les dénominateurs des fractions figurant 

 en (15), passent par une même droite. En efï'et, sous cette con- 

 dition les quatre plans contiennent les trois points 



Ji,x,=-K^', xl= ', B,x,= K, 



B, X, = lu, ) B., x,= — IC^ ] x,= ^ 



situés en ligne droite. Donc le système focal devient indéterminé 

 sous les conditions (13). Or, dans le cas d'une force unique, l'es- 

 pace tridimensional {B^\ A*-') est indéterminé et donc en même 

 temps le système focal. Dans ce cas, d'après la génération du 

 système focal, le plan focal d'un point (juelconque F est le plan 

 par P contenant la force unique; donc la droite commune aux 

 quatre plans (16) est la projection de la résultante unique sur 

 l'espace 0{X.^X.^X^). Comme on trouve facilement cette résul- 

 tante elle même passe par les quatre points 



«j = \ A', X, = A',.2 ^ A3 a;, = A',,.j \ />',, a;, =^ A',, ' 



A, x.^ = A'o, / a;2 = / A*., a;, =-. A'.., / A',, ^2 =^ A'^,, / 



A, x^ = A',, l ' Aj x-j = A'jo l ' a;3 ^^ l ' A',^ x.^ ^= A'.., k 



i.', a;,, = A',„ ; Aj x^ = K\., , A3 x^ =^ A',., aT^ = 



(17). 



