350 SOCIÉTÉ NEUCHATELOISE 



Géométriquement. le RA des points où les courbes inté- 

 grales {courbes de Riccati), qui correspondent à quatre 

 solutions particulières, rencontrent une sécante mobile, 

 parallèle à l'axe des y, est constant. On peut aussi dire 

 que les courbes de Riccati déterminent sur deux sécantes 

 quelconques, parallèles aux ordonnées, des divisions homo- 

 graphiques. 



Il résulte de là que si l'on connaît trois solutions parti- 

 culières de l'équation de Riccati, son intégrale générale 

 s'obtiendra sans aucun signe de quadrature. Le RA, égalé 

 à une constante arbitraire, la fournira immédiatement. 

 Au point de vue graphique, trois courbes de Riccati per- 

 mettront de construire toutes les autres. 



Parmi les nombreuses applications de cette équation 

 différentielle, il convient de signaler celle qui a trait aux 

 lignes asymptotiques des surfaces réglées gauches. 



L'équation différentielle de ces lignes de courbure nulle, 

 étudiées pour la première fois au commencement du 

 siècle dernier (1813) par Dupin, l'illustre créateur de 

 la théorie de l'indicatrice, se décompose en deux autres. 

 La première définit les génératrices rectilignes, qui for- 

 ment ainsi l'une des séries d'asymptotiques de la surface, 

 solution évidente. La seconde, qui renferme les deux 

 paramètres déterminatifs de la surface, est une équation 

 de Riccati. Les lignes asymptotiques qui en résultent 

 possèdent donc la propriété homographique susmention- 

 née. On en conclut que. dans toute surface gauche, le RA 

 des points où quatre asymptotiques déterminées rencontrent 

 une de ses génératrices rectilignes reste constant quand la 

 génératrice varie. Ou encore : les asymptotiques d'une 

 surface gauche déterminent sur deux génératrices quel- 

 conques des divisions homographiques. 



Dans le cas particulier où la surface gauche est à plan 

 directeur (conoide), la droite à l'infini de ce plan est une 

 asymptotique de cette surface. L'équation de Riccati, 

 dont on connaît ainsi une solution particulière, peut 

 dès lors s'intégrer. Les lignes asymptotiques interceptent 

 alors sur deux génératrices quelconques des segments pro- 

 portionnels. 



