338 I^'fi's Nielsen. 



La premiere intégrale du second membre de (/9) peut étre 

 exprimée aisément par des fonctions élémentaires. La méthode 

 ordinaire de décomposilion donnera en effet 



Z-\ (2l. + l)r , , 



1 1 V^ —c cos — ui 



-^ 



Done noiis aurons 



/»' 



de 



1 + c" 

 o 



n — 1 n — 1 



, o \ ' (21/ + 1)- \ ' (2v + l)- , .„(2v + l)7r 



— log 2-^ cos- „ ^ cos— ,p— -lo--" 



?^ — 1 



+ ^X"'"'"""''"^^^'- ""' 



Mais nous avons les formules 



n — 1 n — 1 



et 



\ ' (21^ + 1)71 \ ' . (2v + l)- 



^ COS— ,^ = ^ sm— -- = 



> (2v +1) sm — ,-- = 



^T^ sin- 



Donc, par (^) et f;-), 



log c 





l/l— C2» 

 O 



(^c 



7i 1 j 



I / 7t \ ' (2v + i)7r 1 . (2v + i)7r\ (* 1 , 



-7r(2~y-2. -^^•"'«— ^)-\^T^'^- 



Si nous posons dans (8) n == 2, nous aurons la formule 

 elegante 



(8) 



\ 



,1 



log c , Tti 1 



^c = --^\ -=^^dc = -^.F J,/ . (9) 



V^l — c* 4 J i/i — c* 4 



o '^o 



OU F (y , i\ est rintégrale elliptique compléte de premiere espéce 

 et de module /. 



