Sur la transformation d'une intégrale définie. 339 



Transformation de \ f(A^.sinY)logsm^<:/^. 



o. Si dans la formule (I) nous faisons x = 2« + 1 o" 

 X = 2;i, n étant iin entier positif, nous aurons, en vertu 

 du n° 1, 



C'. , , . ^ n 1.3-5...(2«-l) V co"-^' j 



\sm>logsm^(^^ = -y 2.4.6...2>2 )TT^'^ 



C'. . . , • 7 2.4.6...(2»-2) r^o^n-i 



\sm2«-^logsm^^^ = - 3.5.- ,(2m__,) ^F^ry/^^'^- *^^ 



A l'aide de ces simples formules nous donnerons une 

 transformation intégrale générale , assez curieuse. Si nous 



posons 



p {æ) = «„ -|- a^æ -^ a .^x^ -\- . . . -\- (/„æ" , 



nous aurons, en vertu de (a) et (/5) , 



p(,:csin-^) log sin^f/^ = ^ \yir — ^^'^'^ ' ^'^^^ 



I ' t 



sm^ p(.«sni'^) log sm^tt^ = — \ — p_- acu ^ (11 d) 



oii 



et 



^0 ''o 



l -3.5...(2g-l) ^, _ 2.4-6...2r^ 

 — ^9 — i» — ? — -^^^ 707" rT\ "? 5 



2. 4. 6. ..22 " ' 3. 5. 7. ..(22 + 1) "[(llc) 

 Ao = Bo = a«. J 



Si par exemple nous posons p(Æ-sin2^) = (1 — æ- sin-^)", 

 OU 11 est entier et positif, nous aurons par suite de (11 a) et (4) 

 pour X =- \ 



