Sur la transformation d'une intégrale définie. 346 



tandis que (^) et [y] donnent 



Sarcsinoj dco , ^ tt^ 1 t arc sin^^y , ,, ., 

 7—; = log 2 --= T7;H--77\t. TTT d(0. (lo) 

 o ''o 



1 1. Si nous siipposons 



f (.:r'^sin^^) = ^log(l— .r^sin-^) , 



nous déduirons de (IVa), aprés avoir fait ■«= 1, 



C' . , , ;r(*/ I w^ 1.3r^4 , \ dco ,,. 



\logsin^.logcos^r/^ = ^\(-- + ^-4-...)j:j^,(o^) 



En intégrant par parties le second membre de [d), nous aurons 

 \ log cos ^ • log sin ^ (/^ 



c-'o o 



Si dans la premiere intégrale du second membre de [s]- nous 

 posons (O = cos dl, nous verrons, en appliquant la méthode 

 ordinaire, que la valeur de l'intégrale est ^. Par suite (s) 

 donne _ 



Slogcos^ • logsin^fZ^ = -^ ( log^2 — '~j , (10) 



formule qui se déduit aisément de (6) en posant sin ^ = 

 2cos-^sm-^. 



Encore plus simplement se prouvent les formules (6) et (16) 

 a l'aide de la formule bien connue 



\ 1 , J^ 1,1 r=* 



qui se transforme aisémeut en 



13 33+53 73+93 •• • 32' 



log- tg ^-f/^ = — 



