Sur la sommation de quelques series. 349 



Nous désignerons les trois series inflnies ainsi obtenues par 



Gp{<f), H^(^) et K^{^). 

 3° G,(|) = Ij4|), i. > 1 et G,(f ) = K,(|) . (I) 



4° Pour j9 = O les trois series se réduisent a des pro- 

 gressions géométriques et nous aiirons 



Go. 4^) -e^'^ g'^^os«^' 



Ho, 4^) = —1 — g-2F^+ 2«+'cos"+Ve^"~*^^'S 

 Ko,n(^) = /cotcT — /cot^ cos^c^e"^*. 



0° Par differentiation les formules (2) donneront 

 Gp,n{<p) = {i+iii<p)Gp-i,„{(p) =- Gp_i,„(^)-DJ% — logcos^), 

 H^.n(f) = (/-tg(^)H;,_i,„(^) = Hp_i,„(^).D^4?> + logcos^), [ (3) 

 \ip,n{(f) = (/— tg^)K^_i,„(^) = Iv_i.„(^)-D^(% + logcos^). 



A Vakle des formules (2) et (3) nous essaijerons de trouver 

 les sammes des trois series. Des formides ainsi obtenues nous 

 déduirons, en nous appuyant sur les relations (1), la valeur 

 de quelques intégrales définies. 



2. Si p est négatif, la sommation des series s'effedue 

 plus facilement d'une autre maniere. Mettons en effet dans 

 les trois series (a) e^+P* au lieu de ef^. On trouve aisément 

 les sommes des nouvelles series pour p =- 0. Si nous diffé- 

 rentions p fois par rapport a x les formules ainsi trouvées, et 

 si nous employons une formule bien connue du calcul diffe- 

 rentiel, nous serons menes tout de suite au but en posant 

 o; = 0. En considérant les expressions des trois restes ana- 

 logues aux expressions (2), nous aurons les formules qui 

 suivent : 

 G_p(cr) = 2cos^e5^^'(E^,;,Go{f} + E2.pGo(c)-^E3.pGo(^)^4- ... 



-'"'^ ...-fE„,Ho(^)^), (4b) 



