662 Niels Nielsen. 



noiis donne, a l'aide d'une propriété fondamentale des intégrales 

 eulériennes, 



,_, (!-) ''j"{px) 



^ p 



/. = ! 



1 /2n4-l \ 



la partie reelle de /i, '^{/jl), supposée plus grande qiie — \. 

 Faisons maintenant croitre a rinfini le positif entier n, alors, 

 fait bien connii, l'intégrale définie qui figure au second membre 

 de (e), s'évanouit dans les deux intervalles — ;r < ic < O, 

 0<a?< + 7r. La méme ehose a lieu pour les limites x = -|-;r, 

 pourvu que '^[p.)'>\. On verra en outre que l'intégrale en 

 question s'évanouit aussi pour x infiniment petit, pourvu que 

 le produit nx croisse a l'infini. 

 De cette maniére on aura: 



p = ca 



(1) ^^{-\f-'j'\px) _ I 



I 



2>^f^f 2r(/.+i)' 



et le premier membre de cette fonnide est une serie uniformé- 

 ment cotwergente, pourvu que Von alt å la fois: 1° 9?(^)> — ', 

 2" — 7r<aj<0 OU 0<Æ;< + 7r. 



Cela pose, la valeur asymptotique de J^^'{x) : 



(pour les Valeurs extrémement grandes de x^ et ^x positif) 

 montrera que la condition suffisante 9? (/.<)> — J est nécessaire 

 aussi pour la convergence de la serie (1). A l'aide de cette 

 méme valeur asymptotique on verra en outre que la serie 



i 



-M 



(-\r'(^rripx) 



p 



p.+2n 



2 



