Note sur les développements schlæmilchiens. 663 



n étant un entier quelconque , est aussi uniformément conver- 

 gente dans les intervalles — 7r<a;<0, 0<a;<-|-;r, pourvu 

 que 9fi(/i + 2w)> — A. 



En réalité , le terme de reste de la serie (C) est egal h 

 celui de la serie (1) en y posant /j.-\-2n au lieu de /i, abstrac- 

 tion faite d'un facteur simple et d'une quantité infiniment petite 

 en comparaison de ce terme de reste méme. 



De cette proposition on peut en déduire plusieurs autres. 



En effet, meltons dans la formule (1) /i + w au lieu de 

 //, et \/x au lieu de x, nous aurons, en appliquant n fois 

 l'identité 



{7j) \x- YJ%Vx] dx = -^x — J^-' [a]/x] + \^ , 

 cette autre formule 



^{-\r^x-Jr^pVx] ^ y^ . ^^2n-2g \ 2 / 



- .^-^^-^Tl^ 



p=i 7=0 



OU Ton a pose 





V~'(— 1) 

 = > — , r positif entier. 



p=i 



Posons ensuite de nouveau x^ au lieu de x, la formule que 



nous venons d'obtenir peut s'écrire : 



■^y^+27 



/ x^ 



p = oo q = n 



,9» ST i-if J'ip^) _ y H 1)^2.-2, V2/ 



^^' ^ p/^+P» ^ 2! ri;. + 2 + 1)' 



formule qui est vraie dans l'intervalle — ■n:.<i.x<i'\-7i, pourvu 

 que 9fi(// + w) > — J; condition nécessaire et suffisante i^onr la 

 convergence uniforme de la serie (1) et toutes les autres obtenues 

 par lå en appliquant l'intégration répétée. 



Supposant 9t(«)> — i, on peut démontrer immédiatement 

 la formule (2) en appliquant (^), et la formule 



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