g64 Nisls Nielsen. 





p=l 9=0 



déja indiquée par Euler^). 



Poiir avoir une autre application de notre proposition, 

 mettons dans (1) Vx au lieu de x, différentions ensuite r fois 

 par rapport a x, la formule 



[O] d: 



X - J (aVx) 



-jx 2 J'^ [aVx) 



nous donne, aprés une legere modification : 



(3) ^~^^i:y^= O, -7:<x<0 OU 0<^<+;r, 



formule qui est vraie, pourvu que 'Si[u — 2r')>- — J, condition 

 nécessaire et suffisante pour rapplication de {d) sur la serie (1) 

 terme a terme; on verra en effet que toutes les series obtenues 

 de (1) par la differentiation successive indiquée par {6) sont 

 uniformément convergenles , et la derniére de ces series est 

 précisément (3). 



Supprimant !e facteur x-^ de notre serie (3), la formule 

 ainsi obtenue est vraie aussi pour x infiniment petit. Cela 

 peut se démontrer en appliquant Topération {6) sur (s). On 

 pourra de la méme manlére démontrer (3), mais cette demonstra- 

 tion deviendra beaucoup plus compliquée que celle appliquée 

 par nous dans le texte. 



Notre formule (3) nous suggére diverses réflexions, par 

 exemple, les suivantes : 



1° Oh peut établir le développement (3) de zéro sans 

 connattre la somme de la serie hors de l'intervalle ou cette 

 somme est constamment egale å zéro. 



Voici une propriété essentielle qui distingue des fonctions 



^) Institutiones calculi integralis, vol. IV, p. 281 seq. 



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