Note sur les développements sclilæmilchiens. 665 



trigonométriques les fonctions cylindriques. Or, cette difference 

 saiUe aux yeiix si Ton regarde les formules {y) et (s). La serie 

 qui figure a (s) est en eflfet convergente pour n = ex, et peut 

 étre différentiée terme a terme, tandis que la serie correspon- 

 dante de (;-) sera divergente. C'est Tintroduction du para- 

 metre fji qui rend possible cette convergence et cette differen- 

 tiation terme a terme , de sorte qu'il est bien probable qu'a 

 l'aide d'une formule analogue a (d) on peut défmir d'autres fonc- 

 tions plus générales que J'^{x) et qui fourniront des développe- 

 ments de zéro, analogues a (3). 



2°. Supi^osons qu'il soit possible de développer la fonction 

 f[x) en serie de la forme 



[t] f[x) = (I) ^a,r(px) 



ce développement peut se faire d'une infinité de fagons, pourvu 

 que 3l(//)>|. 



Posons /i ^ O , // = 1 , la formule U) nous donne les 

 series de M. Schlomilch ^), démontrées plus tard d'une maniére 

 extrémement elegante par M. Beltrami^). Ces développements 

 ne se font que d'une seule maniére, tandis que les generalisa- 

 tions des series schlæmilchiennes données sans demonstration 

 rigoureuse par M. Lommel^), peuvent étre effectuées d'une 

 infinité de fagons. 



') Zeitschilft fur Mathematik und Physik, t. II, p. 155. 

 2) Istituto Lombardo Rendiconti, 2e serie, t. XIII, p. 410. 

 ^) Studien iiber die Bessel'schen Functionen, p. 73. 



Copenhague, le 15 novembre 1899. 



