DES FEUILLETS 7 



([uaternion, le deuxième comme vecteur, la position 

 oo est complètement définie. Réciproquement, à une 

 position oo donnée correspond un vecteur ? unique. Quant 

 à q sa définition ne le détermine qu'à un facteur 

 numérique près tout à fait arbitraire. Le plus ordinai- 

 rement on choisira ce facteur, de manière que \q\ = I . 

 Dans ce cas, si on appelle H l'angle de la rotation, on 



fi fi 



aura %q = cos 5; pour Vq, sa longueur est sin *, et 



ce vecteur adt dans la direction de l'axe rotatoire. 



Si maintenant on désire remplacer le mouvement 

 {a, q) par une rotation q' exécutée autour du point r, 

 en faisant suivre cette rotation d'une translation v, on 

 aura à résoudre l'équation 



t + q' (fr-c) q'- 1 + c = a + qpr 1 , (1) 



dont les deux membres représentent la position finale 

 de l'extrémité du vecteur p, lorsqu'on soumet ce vecteur 

 à l'une ou l'autre opération. La condition (1) doit être 

 identique, quel que soit p. Elle se dédouble donc et 

 donne q' = q, puis 



r — a = qzq x — t. (2) 



Quel que soit le choix du point r, on tirera de (2) 

 une valeur de v, car le second membre a évidemment 

 zéro pour partie scalaire. 



Le problème, on le savait d'avance, admet ainsi 

 une infinité de solutions. 



Cherchons dans cette multiplicité, celle des solu- 

 tions qui correspond au mouvement hélicoïdal. Pour 

 un pareil mouvement, la translation v s'exécute dans 

 la direction de l'axe rotatoire \q. Ainsi, a étant un 



nombre, on doit avoir 



y = a Vq. 



