6 NOTE SUR LA GÉOMÉTRIE 



Je me propose de montrer ici comment ces compli- 

 cations ne sont pas indispensables, mais disparaissent 

 presque entièrement quand on emploie d'une manière 

 uniforme les notations du calcul des quaternions. En 

 agissant directement sur les quaternions q eux-mêmes, 

 sans les décomposer en leurs éléments scalaires et 

 vectoriels Sq et Vq, la définition et les propriétés 

 essentielles des pentaséries s'établiront en quelques 

 lignes. 



Commençons par rappeler quelques résultats bien 

 connus sur les diverses manières de décomposer le 

 déplacement fini d'un corps solide en une rotation 

 suivie d'une translation ; une de ces décompositions 

 fournira le mouvement hélicoïdal équivalent. 



Soit un système Q. d'axes fixes X Y Z porteurs de 

 trois unités quaternionniennes i, j, k, donnant lieu aux 

 relations connues ij = k, jk=i, ki=j. Soit, en 

 outre, un deuxième trièdre a> d'axes mobiles oxyz. Le 

 passage de la position û à la position w peut être 

 réalisé comme suit. 



On fera d'abord tourner Q, autour de l'origine 0, de 

 manière à en rendre les axes parallèles à ceux de &>. 

 Cette rotation est définie par un certain quaternion q, 

 tel que tout vecteur p issu de l'origine se transforme 

 par cette rotation en qpq" 1 '. 



En second lieu, et lorsque Q a subi la rotation pré- 

 cédente, avançons-le le long du vecteur a — Oo par 

 un mouvement de simple translation. La succession 

 des opérations (<?, q) amène le trièdre Q en coïncidence 

 avec w. Si q et a sont donnés, le premier comme 



1 Dans les produits de facteurs quaternions, je suppose îes 

 opérations exécutées de droite à gauche. 



