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incapable d'altérer la nature de la figure et, partant, l'existence 

 de ces relations, pour qu'on en arrive a une proposition sur 

 les nouveaux elements auxquels peut donner lien la combinaison 

 des longueurs primitives et de leurs quantités differentielles 

 déterminées par le déplacement. 



Ce principe de duplication m'a servi en géométrie sphé- 

 rique, et j'ai pu, en conséquence, établir une barmonie remar- 

 quable entre cette géométrie sphérique et la géométrie des 

 droites dans l'espace, barmonie que j'étudierai plus en détail 

 dans les recherches qui vont suivre. 



Comme resultat important on peut citer d'avance celui que 

 voici : L'expression par une figure plane, d'une pro- 

 position quelconque de géométrie projective, donne 

 une proposition c o r r e s p o n d a n t e dans l'espace, si 

 Ton r e m p 1 a c e , d'un c o t é , par « d r o i t e arbitraire» le 

 « point« (ou «droite«) arbitraire«, et, de l'autre, 

 par <( 1 a normale cominime a deux droites« la « d r o i t e 

 qui joint deux points ( o u « 1 e point de rencontre 

 de deux droites«). 



La nouvelle proposition comprendra alors et la proposition 

 transformée et sa corrélative , peut-étre aussi plusieurs autres 

 propositions exprimées par les figures planes. 



Pour le prouver, partons d'un principe relatif au transport 

 de la géométrie sphéro-métrique aux figures formées dans 

 l'espace par des droites, principe qui épuise la question de 

 l'origine des relations entre les distances et les angles dans 

 une figure arbitraire de droites, en fournissant la preuve que 

 ces relations se déduisent exclusivement de la géométrie sphé- 

 rique. 



Ce principe est remarquable: il pourrait bien étre considéré 

 comme la base fondamentale de la géométrie métrique des 

 droites. Son existence m'a poussé immédiatement a tenter 

 diverses voies pour representer sous forme nouvelle les 

 points complexes du plan. Mais les resultats de ces tentatives 



